Calcule a integral
e interprete-a como a área de uma região. Esboce a região.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos que calcular a integral definida de no intervalo de a . Isso significa que queremos encontrar a área entre as curvas de e nesse intervalo. Para resolver isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre integrais definidas e como lidar com valores absolutos dentro delas.

Passo 2

Para calcular a integral de uma função absoluta, precisamos saber onde a expressão dentro do valor absoluto muda de sinal. Ou seja, precisamos encontrar o ponto onde .

Passo 3

Vamos resolver a equação :
Dividindo ambos os lados por (desde que ):
A solução dessa equação no intervalo de a é:

Passo 4

Agora que sabemos que muda de sinal em , vamos dividir a integral em dois intervalos:
  1. De a , onde , então
  2. De a , onde , então

Passo 5

Vamos calcular cada parte da integral separadamente:
E

Passo 6

Calculando a primeira integral:
Aplicando os limites de a :

Passo 7

Calculando a segunda integral:
Aplicando os limites de a :

Passo 8

Agora, somamos os resultados das duas integrais:

Resposta

A integral é igual a e representa a área entre as curvas de e no intervalo de a .

Exercícios relacionados

(b) - : Esboce a região delimitada pelas curvas e e encontre sua área.
(a) - (1,5): A função aceleração ) e a velocidade inicial são dadas para uma partícula movendo-se ao longo de uma reta. Encontre a velocidade no instante e a distância percorrida durante o intervalo de tempo dado.
Encontre a equação da reta tangente a curva parametrizada no ponto fornecido:
(a) e em .
Calcule a integral de linha onde é a curva dada:
, onde é a metade direita do círculo .