Calcule a integral
integral0^pi / 2|sen(x)-cos (x)| d x
e interprete-a como a área de uma região. Esboce a região.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos que calcular a integral definida de no intervalo de a . Isso significa que queremos encontrar a área entre as curvas de e nesse intervalo. Para resolver isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre integrais definidas e como lidar com valores absolutos dentro delas.

Passo 2

Para calcular a integral de uma função absoluta, precisamos saber onde a expressão dentro do valor absoluto muda de sinal. Ou seja, precisamos encontrar o ponto onde .

Passo 3

Vamos resolver a equação :
Dividindo ambos os lados por sen(x) = cos(x) (desde que tan(x) = 1 ):
x = pi4
A solução dessa equação no intervalo de a é:

Passo 4

Agora que sabemos que muda de sinal em , vamos dividir a integral em dois intervalos:
  1. De a , onde , então
  2. De a , onde , então

Passo 5

Vamos calcular cada parte da integral separadamente:
E

Passo 6

Calculando a primeira integral:
Aplicando os limites de integral (cos(x) - sen(x)) , dx = sen(x) + cos(x) + C a [ sen(pi4) + cos(pi4) ] - [ sen(0) + cos(0) ] = ( raiz22 + raiz22 ) - (0 + 1) = raiz2 - 1 :

Passo 7

Calculando a segunda integral:
Aplicando os limites de integral (sen(x) - cos(x)) , dx = -cos(x) - sen(x) + C a [ -cos(pi2) - sen(pi2) ] - [ -cos(pi4) - sen(pi4) ] = ( -0 - 1 ) - ( -raiz22 - raiz22 ) = -1 + raiz2 :

Passo 8

Agora, somamos os resultados das duas integrais:
(raiz2 - 1) + (-1 + raiz2) = 2raiz2 - 2

Resposta

A integral é igual a e representa a área entre as curvas de e no intervalo de a .

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