Calcule a integral
e interprete-a como a área de uma região. Esboce a região.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos que calcular a integral definida de no intervalo de
a
. Isso significa que queremos encontrar a área entre as curvas de e
nesse intervalo. Para resolver isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre integrais definidas e como lidar com valores absolutos dentro delas.
Passo 2
Para calcular a integral de uma função absoluta, precisamos saber onde a expressão dentro do valor absoluto muda de sinal. Ou seja, precisamos encontrar o ponto onde .
Passo 3
Vamos resolver a equação :
Dividindo ambos os lados por
(desde que
):
A solução dessa equação no intervalo de
a
é:
Passo 4
Agora que sabemos que muda de sinal em
, vamos dividir a integral em dois intervalos:
- De
a , onde , então - De
a , onde , então
Passo 5
Vamos calcular cada parte da integral separadamente:
E
Passo 6
Calculando a primeira integral:
Aplicando os limites de
a
:
Passo 7
Calculando a segunda integral:
Aplicando os limites de
a
:
Passo 8
Agora, somamos os resultados das duas integrais:
Resposta
A integral é igual a
e representa a área entre as curvas de e
no intervalo de
a
.
Exercícios relacionados
(b) -
: Esboce a região delimitada pelas curvas
e
e encontre sua área.
(a) - (1,5): A função aceleração
) e a velocidade inicial são dadas para uma partícula movendo-se ao longo de uma reta. Encontre a velocidade no instante e a distância percorrida durante o intervalo de tempo dado.
Encontre a equação da reta tangente a curva parametrizada no ponto fornecido:
(a) e
em
.
(a)
Calcule a integral de linha onde
é a curva dada:
, onde
é a metade direita do círculo
.