(b) Escreva a definição de integral duplaR f(x, y) d A como um limite.

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é o exercício que pede para escrever a definição da integral dupla integral duplaR f(x, y) d A como um limite. Isso está ligado ao cálculo integral múltiplo, especificamente às integrais de Riemann duplas. A gente vai precisar entender como dividir a região R em partes menores e somar as áreas dessas partes multiplicadas pelos valores da função f(x, y) nesses pontos.

Passo 2

Primeiro, imagina que a gente tem a região R no plano xy. A ideia é dividir essa região em muitos retângulos bem pequenos. Cada retângulo vai ter uma área De, onde o índice i identifica cada um desses retângulos. Dentro de cada retângulo, escolhe um ponto qualquer (xi^*, yi^*) para avaliar a função f(x, y).

Passo 3

A próxima coisa é somar todos esses valores multiplicados pela área dos retângulos. Ou seja, a gente faz uma soma como sumi=1^n f(xi^*, yi^*) De, onde n é o número total de retângulos na divisão.

Passo 4

Agora, para transformar essa soma em uma integral dupla, a gente precisa considerar o que acontece quando os retângulos ficam cada vez menores e o número deles aumenta. Isso quer dizer que o tamanho máximo dos retângulos, representado por |P|, tende a zero.

Resposta

Então, a definição de integral duplaR f(x, y) d A como um limite é:
integral duplaR f(x, y) d A = lim|P|to 0 sumi=1^n f(xi^*, yi^*) De

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