(b) Escreva a definição de
como um limite.
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é o exercício que pede para escrever a definição da integral dupla
como um limite. Isso está ligado ao cálculo integral múltiplo, especificamente às integrais de Riemann duplas. A gente vai precisar entender como dividir a região
em partes menores e somar as áreas dessas partes multiplicadas pelos valores da função
nesses pontos.
Passo 2
Primeiro, imagina que a gente tem a região
no plano xy. A ideia é dividir essa região em muitos retângulos bem pequenos. Cada retângulo vai ter uma área
, onde o índice
identifica cada um desses retângulos. Dentro de cada retângulo, escolhe um ponto qualquer
para avaliar a função
.
Passo 3
A próxima coisa é somar todos esses valores multiplicados pela área dos retângulos. Ou seja, a gente faz uma soma como
, onde
é o número total de retângulos na divisão.
Passo 4
Agora, para transformar essa soma em uma integral dupla, a gente precisa considerar o que acontece quando os retângulos ficam cada vez menores e o número deles aumenta. Isso quer dizer que o tamanho máximo dos retângulos, representado por
, tende a zero.
Resposta
Então, a definição de
como um limite é: