(b) O que é uma região do tipo I? Como calcular
se
for uma região do tipo I ?
Passo 1
Então, a gente recebeu uma pergunta sobre integrais duplas, especificamente sobre o que é uma região do tipo I e como calcular a integral dupla
quando a região
é do tipo I. Vamos precisar entender o conceito de regiões do tipo I e como configurar os limites de integração para resolver esse tipo de integral.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma região do tipo I. Em cálculo, especialmente no estudo de integrais duplas, as regiões de integração podem ser classificadas para facilitar o cálculo.
Passo 3
Uma região do tipo I é aquela onde, para cada valor de
no intervalo
, o valor de
varia entre duas funções contínuas. Ou seja, a região pode ser descrita como:
Aqui,
e
são funções que definem os limites inferiores e superiores de
para cada
.
Passo 4
Agora, para calcular a integral dupla
quando
é uma região do tipo I, a gente pode separar a integral em duas integrais iteradas. Primeiro, integramos em relação a
, de
a
, e depois integramos em relação a
, de
a
.
Passo 5
Matematicamente, isso fica assim:
Essa forma de integração facilita o cálculo porque a gente integra uma variável de cada vez, seguindo os limites que definem a região do tipo I.
Resposta
Uma região do tipo I é aquela onde, para cada
no intervalo
,
varia entre duas funções contínuas
e
. Para calcular a integral dupla
nessa região, usa-se a integral iterada: