(b) O que é uma região do tipo I? Como calcular integral duplaD f(x, y) d A se D for uma região do tipo I ?

Passo 1

Então, a gente recebeu uma pergunta sobre integrais duplas, especificamente sobre o que é uma região do tipo I e como calcular a integral dupla integral duplaD f(x, y) , dA quando a região D é do tipo I. Vamos precisar entender o conceito de regiões do tipo I e como configurar os limites de integração para resolver esse tipo de integral.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma região do tipo I. Em cálculo, especialmente no estudo de integrais duplas, as regiões de integração podem ser classificadas para facilitar o cálculo.

Passo 3

Uma região do tipo I é aquela onde, para cada valor de x no intervalo [a, b], o valor de y varia entre duas funções contínuas. Ou seja, a região pode ser descrita como:
D = (x, y) mid a <= x <= b, , g1(x) <= y <= g2(x)
Aqui, g1(x) e g2(x) são funções que definem os limites inferiores e superiores de y para cada x.

Passo 4

Agora, para calcular a integral dupla integral duplaD f(x, y) , dA quando D é uma região do tipo I, a gente pode separar a integral em duas integrais iteradas. Primeiro, integramos em relação a y, de g1(x) a g2(x), e depois integramos em relação a x, de a a b.

Passo 5

Matematicamente, isso fica assim:
integral duplaD f(x, y) , dA = integrala^b ( integralg1(x)^g2(x) f(x, y) , dy ) dx
Essa forma de integração facilita o cálculo porque a gente integra uma variável de cada vez, seguindo os limites que definem a região do tipo I.

Resposta

Uma região do tipo I é aquela onde, para cada x no intervalo [a, b], y varia entre duas funções contínuas g1(x) e g2(x). Para calcular a integral dupla integral duplaD f(x, y) , dA nessa região, usa-se a integral iterada:
integral duplaD f(x, y) , dA = integrala^b ( integralg1(x)^g2(x) f(x, y) , dy ) dx

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