Determine o intervalo máximo de convergência de cada uma das séries de potências abaixo: sumn=1^infty n4^n x^n

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série de potências dada por:
sumn=1^infty n4^n x^n
Queremos encontrar o intervalo máximo de convergência dessa série. Para isso, vamos utilizar o Teste da Razão, uma ferramenta da análise de séries que nos ajuda a determinar onde a série converge.

Passo 2

O Teste da Razão nos diz que, para uma série sum an, se o limite
L = limn to infty | an+1an |
existe, então a série converge se L < 1, diverge se L > 1 e o teste é inconclusivo se L = 1.

Passo 3

Aplicando o Teste da Razão à nossa série, vamos identificar an:
an = n4^n x^n
Agora, calculamos an+1an:
an+1an = n+14^n+1 x^n+1n4^n x^n = n+1n cdot 14 cdot x

Passo 4

Vamos simplificar o limite:
L = limn to infty | n+1n cdot x4 | = limn to infty | (1 + 1n) cdot x4 | = | x4 |
Isso ocorre porque limn to infty (1 + 1n) = 1.

Passo 5

Para que a série convirja, precisamos que L < 1:
| x4 | < 1 implies |x| < 4
Isso nos dá o raio de convergência R = 4.

Passo 6

Agora, determinamos o intervalo de convergência. Sabemos que a série converge para |x| < 4, ou seja, para x no intervalo (-4, 4).
Por fim, também devemos verificar os pontos finais x = -4 e x = 4:
  • Para x = 4:
sumn=1^infty n4^n cdot 4^n = sumn=1^infty n
Essa série é a soma dos números naturais, que diverge.
  • Para x = -4:
sumn=1^infty n4^n cdot (-4)^n = sumn=1^infty n (-1)^n
Essa é uma série alternada, mas o termo geral n não tende a zero, então também diverge.

Resposta

O intervalo máximo de convergência da série é -4 < x < 4.

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