Determine os valores de x in R para os quais as séries convergem. sumn=0^infty 2 n+1(n+1)^5 x^2 n

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita:
sumn=0^infty 2n + 1(n + 1)^5 x^2n
Queremos encontrar os valores de para os quais essa série converge. Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar o raio de convergência de séries de potências.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a série para facilitar a aplicação do teste. Observe que sumn=0^infty 2n + 1(n + 1)^5 (x^2)^n , então a série pode ser escrita como:
Isso mostra que a série é uma série de potências em , onde .

Passo 3

Vamos aplicar o Teste da Razão, que diz que a série limn to infty | an+1an | < 1 converge se:
Vamos calcular esse limite para nossa série.

Passo 4

Calculando an+1an = 2(n+1) + 1(n + 2)^52n + 1(n + 1)^5 = 2n + 3(n + 2)^5 cdot (n+1)^52n + 1 :
| an+1an | = 2n + 32n + 1 cdot ( n + 1n + 2 )^5 cdot x^2
Simplificando:

Passo 5

Vamos calcular o limite quando limn to infty | an+1an | = 1 cdot 1 cdot x^2 = x^2 :
  • x^2 < 1 implies |x| < 1
Então:
Para a série convergir, precisamos que:

Resposta

A série converge para todos os valores de que satisfazem .

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