Determine os valores de
para os quais as séries convergem.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma série infinita:
. Nosso objetivo é descobrir para quais valores de
essa série converge. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos sobre séries alternadas e convergência, então vamos precisar entender como esses conceitos funcionam.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na série:
. Essa é uma série alternada porque o termo
faz com que os sinais dos termos mudem de positivo para negativo alternadamente. Séries alternadas têm algumas regras específicas para verificar a convergência.
Passo 3
Uma das principais ferramentas para analisar séries alternadas é o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que uma série da forma
converge se duas condições forem satisfeitas:
- Os termos
são positivos e decrescem monotonamente, ou seja, para todo . - O limite de
quando tende ao infinito é zero, ou seja, .
Vamos aplicar isso à nossa série.
Passo 4
Na nossa série, podemos identificar
. Primeiro, precisamos garantir que
seja positivo. Como a exponencial nunca é negativa,
para todo
.
Agora, vamos ver se
está decrescendo. Para isso, precisamos que
. Porque se
, então
diminui conforme
aumenta.
Passo 5
O próximo passo é verificar o limite de
quando
vai para o infinito:
Se
, então
vai para
, e
vai para zero. Isso atende a segunda condição do teste da série alternada.
Passo 6
Então, resumindo: para que a série
convirja, precisamos que
. Vamos lembrar que o seno é positivo nos intervalos onde
está entre
e
(excluindo os pontos onde é zero, já que aí não atenderia a decrescimento).
Resposta
A série converge para todos os valores de
em que
é positivo, ou seja, quando
, onde
é qualquer inteiro.