Determine os valores de x in R para os quais as séries convergem. sumn=0^infty(-1)^n+1 e^-n sin x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma série infinita: sumn=0^infty (-1)^n+1 e^-n sin x. Nosso objetivo é descobrir para quais valores de x essa série converge. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos sobre séries alternadas e convergência, então vamos precisar entender como esses conceitos funcionam.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na série: sumn=0^infty (-1)^n+1 e^-n sin x. Essa é uma série alternada porque o termo (-1)^n+1 faz com que os sinais dos termos mudem de positivo para negativo alternadamente. Séries alternadas têm algumas regras específicas para verificar a convergência.

Passo 3

Uma das principais ferramentas para analisar séries alternadas é o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que uma série da forma sum (-1)^n an converge se duas condições forem satisfeitas:
  1. Os termos an são positivos e decrescem monotonamente, ou seja, an+1 <= an para todo n.
  2. O limite de an quando n tende ao infinito é zero, ou seja, limn to infty an = 0.
Vamos aplicar isso à nossa série.

Passo 4

Na nossa série, podemos identificar an = e^-n sin x. Primeiro, precisamos garantir que an seja positivo. Como a exponencial nunca é negativa, e^-n sin x > 0 para todo n.
Agora, vamos ver se an está decrescendo. Para isso, precisamos que sin x > 0. Porque se sin x > 0, então e^-n sin x diminui conforme n aumenta.

Passo 5

O próximo passo é verificar o limite de an quando n vai para o infinito:
limn to infty e^-n sin x.
Se sin x > 0, então -n sin x vai para -infty, e e^-n sin x vai para zero. Isso atende a segunda condição do teste da série alternada.

Passo 6

Então, resumindo: para que a série sumn=0^infty (-1)^n+1 e^-n sin x convirja, precisamos que sin x > 0. Vamos lembrar que o seno é positivo nos intervalos onde x está entre 0 e pi (excluindo os pontos onde é zero, já que aí não atenderia a decrescimento).

Resposta

A série converge para todos os valores de x em que sin x é positivo, ou seja, quando x in (0, pi) + 2kpi, onde k é qualquer inteiro.

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