b. Escreva as equações de Navier-Stokes e explique cada termo com as suas respectivas hipóteses.
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem que escrever as equações de Navier-Stokes e explicar cada um dos termos delas, junto com as hipóteses que estão por trás. Essas equações são fundamentais na mecânica dos fluidos e ajudam a descrever como os fluidos se comportam em movimento. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre os conceitos de forças, velocidade, pressão e viscosidade em fluidos.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a forma geral das equações de Navier-Stokes para um fluido incompressível e viscoso. A equação é dada por:
Aqui, cada símbolo representa algo específico:
-
: Densidade do fluido. -
: Vetor velocidade do fluido. -
: Tempo. -
: Pressão no fluido. -
: Viscosidade dinâmica do fluido. -
: Forças externas atuando no fluido (como gravidade).
Passo 3
Agora, vamos explicar cada termo dessa equação e as hipóteses envolvidas:
-
: Esse termo representa a taxa de variação da velocidade do fluido em relação ao tempo. A hipótese aqui é que o fluido é contínuo e pode ser descrito por um campo de velocidades suaves. -
: Esse é o termo de advecção, que descreve como a velocidade do fluido muda à medida que ele se move no espaço. A hipótese é que o fluxo é não-linear e que a velocidade em um ponto pode depender da velocidade em pontos próximos. -
: Esse termo representa a força devido ao gradiente de pressão no fluido. A hipótese é que a pressão é uma função escalar que varia no espaço e afeta o movimento do fluido. -
: Esse é o termo de viscosidade, que descreve a difusão de momentum devido à viscosidade do fluido. A hipótese aqui é que o fluido é Newtoniano, ou seja, a tensão de cisalhamento é proporcional à taxa de deformação. -
: Esse termo engloba quaisquer forças externas atuando no fluido, como a gravidade. A hipótese é que essas forças podem ser adicionadas diretamente à equação como forças volumétricas.
Além dessas explicações individuais, as equações de Navier-Stokes assumem que o fluido é contínuo (não discreto), que é incompressível (a densidade é constante) e que as propriedades do fluido, como viscosidade, são constantes no espaço e no tempo.
Resposta
As equações de Navier-Stokes para um fluido incompressível e viscoso são:
Cada termo representa diferentes aspectos do movimento do fluido, considerando hipóteses como fluido contínuo, incompressível, Newtoniano e com propriedades constantes.
Exercícios relacionados
c. Enumere as possíveis hipóteses apresentadas no enunciado do problema e mais as hipóteses necessárias para a utilização das equações de Navier-Stokes (Dica: 6 a 7 hipóteses).
d. Escreva a equação da continuidade e as equações de Navier-Stokes e explique por que cada termo é considerado ou desconsiderado. Escreva as condições de contorno.
d. Calcule novamente a potência necessária caso a vazão fosse modificada para
e o tubo trocado por um de diâmetro de 4 cm e comprimento de 30 m .
a. Calcule a pressão com que a água sai do tanque e entra no tubo, comente todas as hipóteses utilizadas.