b. Escreva as equações de Navier-Stokes e explique cada termo com as suas respectivas hipóteses.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem que escrever as equações de Navier-Stokes e explicar cada um dos termos delas, junto com as hipóteses que estão por trás. Essas equações são fundamentais na mecânica dos fluidos e ajudam a descrever como os fluidos se comportam em movimento. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre os conceitos de forças, velocidade, pressão e viscosidade em fluidos.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a forma geral das equações de Navier-Stokes para um fluido incompressível e viscoso. A equação é dada por:
rho ( partial upartial t + (u cdot nabla)u ) = -nabla p + mu nabla^2 u + f
Aqui, cada símbolo representa algo específico:
  • rho: Densidade do fluido.
  • u: Vetor velocidade do fluido.
  • t: Tempo.
  • p: Pressão no fluido.
  • mu: Viscosidade dinâmica do fluido.
  • f: Forças externas atuando no fluido (como gravidade).

Passo 3

Agora, vamos explicar cada termo dessa equação e as hipóteses envolvidas:
  1. rho partial upartial t: Esse termo representa a taxa de variação da velocidade do fluido em relação ao tempo. A hipótese aqui é que o fluido é contínuo e pode ser descrito por um campo de velocidades suaves.
  2. rho (u cdot nabla)u: Esse é o termo de advecção, que descreve como a velocidade do fluido muda à medida que ele se move no espaço. A hipótese é que o fluxo é não-linear e que a velocidade em um ponto pode depender da velocidade em pontos próximos.
  3. -nabla p: Esse termo representa a força devido ao gradiente de pressão no fluido. A hipótese é que a pressão é uma função escalar que varia no espaço e afeta o movimento do fluido.
  4. mu nabla^2 u: Esse é o termo de viscosidade, que descreve a difusão de momentum devido à viscosidade do fluido. A hipótese aqui é que o fluido é Newtoniano, ou seja, a tensão de cisalhamento é proporcional à taxa de deformação.
  5. f: Esse termo engloba quaisquer forças externas atuando no fluido, como a gravidade. A hipótese é que essas forças podem ser adicionadas diretamente à equação como forças volumétricas.
Além dessas explicações individuais, as equações de Navier-Stokes assumem que o fluido é contínuo (não discreto), que é incompressível (a densidade é constante) e que as propriedades do fluido, como viscosidade, são constantes no espaço e no tempo.

Resposta

As equações de Navier-Stokes para um fluido incompressível e viscoso são:
rho ( partial upartial t + (u cdot nabla)u ) = -nabla p + mu nabla^2 u + f
Cada termo representa diferentes aspectos do movimento do fluido, considerando hipóteses como fluido contínuo, incompressível, Newtoniano e com propriedades constantes.

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