d. Escreva a equação da continuidade e as equações de Navier-Stokes e explique por que cada termo é considerado ou desconsiderado. Escreva as condições de contorno.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente escrever a equação da continuidade e as equações de Navier-Stokes, além de explicar por que cada termo é considerado ou não. Também precisamos escrever as condições de contorno. Isso tudo está na área de Mecânica dos Fluidos. Para resolver, vamos precisar entender os conceitos básicos de conservação de massa e movimento em fluidos.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre a equação da continuidade. Essa equação expressa a conservação da massa em um fluido. A forma geral dela é:
Explicação dos termos:
  • : Representa a variação da densidade ( ) no tempo. Consideramos esse termo porque a densidade pode mudar em diferentes pontos do fluido ao longo do tempo.
  • : É a divergência do fluxo de massa. Inclui como a massa está se movendo no espaço. Esse termo é essencial para garantir que a massa seja conservada conforme o fluido flui.

Passo 3

Agora, vamos para as equações de Navier-Stokes, que descrevem o movimento de fluidos viscosos. A forma vetorial das equações é:
Explicação dos termos:
  • : Termo da aceleração local, mostra como a velocidade ( ) muda no tempo em um ponto fixo.
  • : Termo da aceleração convectiva, representa a mudança de velocidade devido ao movimento do fluido no espaço.
  • : Gradiente de pressão, controla como a pressão influencia o movimento do fluido. Sempre considerado porque a pressão é uma força fundamental no fluido.
  • : Termo de viscosidade, descreve a difusão de momentum causada pela viscosidade do fluido. Incluído se o fluido tiver viscosidade significativa.
  • : Forças externas por unidade de volume, como gravidade. Considerado se houver forças externas atuando no fluido.
Alguns termos podem ser ignorados dependendo das condições do problema. Por exemplo, se a viscosidade for muito baixa, o termo pode ser descartado, simplificando as equações.

Passo 4

Por fim, vamos às condições de contorno, que são essenciais para resolver as equações em problemas específicos. As principais condições de contorno são:
  1. Condição de Não-Deslizamento: A velocidade do fluido na superfície de um sólido é igual à velocidade da superfície. Se a superfície está parada, o fluido também está.
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  2. Condição de Entrada e Saída: Define o perfil de velocidade ou a pressão nos pontos onde o fluido entra ou sai do domínio de interesse.
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  3. Condição de Livre Superfície: Em uma interface livre, a pressão é igual à pressão atmosférica e a tensão superficial pode ser considerada.
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Essas condições ajudam a definir o comportamento do fluido nas fronteiras do domínio analisado.

Resposta

A equação da continuidade é:
As equações de Navier-Stokes são:
As condições de contorno incluem a condição de não-deslizamento na superfície sólida, condições de entrada e saída para velocidade e pressão, e condições de livre superfície onde a pressão é igual à atmosférica.

Exercícios relacionados

a. Explique por que, mesmo não havendo diferença de pressão, existe deslocamento do fluido entre as placas.
a. Escreva o balanço de energia para o escoamento permanente entre as superfícies 1 e 2. Justifique cada termo do BEM. Dê a equação final com a potência da bomba isolada na equação.
c. Enumere as possíveis hipóteses apresentadas no enunciado do problema e mais as hipóteses necessárias para a utilização das equações de Navier-Stokes (Dica: 6 a 7 hipóteses).
b. Escreva as equações de Navier-Stokes e explique cada termo com as suas respectivas hipóteses.