(b) Escreva a série de potências que define a função e determine o domínio de .
Resp: e .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos escrever a série de potências que define a função derivada e determinar o domínio dessa função. Isso envolve conhecimentos de cálculo, especialmente sobre séries de potências e derivadas.
Passo 2
Vamos assumir que a função é dada por uma série de potências. Para encontrar , precisamos derivar termo a termo essa série. A derivada de uma série de potências é obtida derivando cada termo individualmente.
Passo 3
Considerando uma série genérica:
A derivada dessa série é:
No entanto, para facilitar os cálculos, podemos reindexar a série começando de .
Passo 4
No exercício, a resposta fornecida para é:
Isso sugere que a série original seria:
Derivando termo a termo, obtemos exatamente a série para .
Passo 5
Agora, vamos determinar o domínio de . O domínio de uma série de potências é o conjunto de valores de para os quais a série converge.
Passo 6
Para encontrar o intervalo de convergência, usamos o critério da razão. Aplicando o critério, temos:
A série converge quando esse limite é menor que 1:
Então, o intervalo de convergência é .
Passo 7
Verificamos os extremos e para ver se fazem parte do domínio.
Para :
Esta é uma série alternada que converge.
Para :
Esta é a série harmônica, que diverge.
Resposta
A série de potências que define a função derivada é: