(b) Escreva a série de potências que define a função f^prime e determine o domínio de f^prime.
Resp: f^prime(x)=sumn=0^+infty x^n(n+1) e Df^prime=[-1,1).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos escrever a série de potências que define a função derivada e determinar o domínio dessa função. Isso envolve conhecimentos de cálculo, especialmente sobre séries de potências e derivadas.

Passo 2

Vamos assumir que a função é dada por uma série de potências. Para encontrar , precisamos derivar termo a termo essa série. A derivada de uma série de potências é obtida derivando cada termo individualmente.

Passo 3

Considerando uma série genérica:
f(x) = sumn=0^+infty an x^n
A derivada dessa série é:
f^prime(x) = sumn=0^+infty an cdot n cdot x^n-1
No entanto, para facilitar os cálculos, podemos reindexar a série começando de .

Passo 4

No exercício, a resposta fornecida para f^prime(x) = sumn=0^+infty x^nn+1 é:
f(x) = sumn=0^+infty x^n+1n+1
Isso sugere que a série original seria:
Derivando termo a termo, obtemos exatamente a série para .

Passo 5

Agora, vamos determinar o domínio de . O domínio de uma série de potências é o conjunto de valores de para os quais a série converge.

Passo 6

Para encontrar o intervalo de convergência, usamos o critério da razão. Aplicando o critério, temos:
limn to +infty | an+1 x^n+1an x^n | = limn to +infty | x^n+1/(n+2)x^n/(n+1) | = |x| limn to +infty n+1n+2 = |x|
A série converge quando esse limite é menor que 1:
|x| < 1
Então, o intervalo de convergência é .

Passo 7

Verificamos os extremos f^prime(-1) = sumn=0^+infty (-1)^nn+1 e f^prime(1) = sumn=0^+infty 1n+1 para ver se fazem parte do domínio.
Para :
Esta é uma série alternada que converge.
Para :
Esta é a série harmônica, que diverge.

Resposta

A série de potências que define a função derivada é:
f^prime(x) = sumn=0^+infty x^nn+1
E o domínio de Df^prime = [-1, 1) é:

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