(d) , quando o ponto ordinário for .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos traz uma equação diferencial de segunda ordem: . O conteúdo que vamos usar aqui é de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), especialmente aquelas de segunda ordem com coeficientes que dependem de . Nosso ponto de partida é verificar se é um ponto ordinário, o que nos ajuda a resolver a equação mais facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos confirmar que é um ponto ordinário. Em EDOs, um ponto ordinário é aquele onde os coeficientes da equação não têm singularidades. Olhando para a nossa equação , vemos que é bem comportada em (já que ). Então, é realmente um ponto ordinário.

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação. Ela é linear e homogênea, então podemos simplificar reduzindo a ordem da equação. Vamos fazer a substituição . Assim, . Substituindo na nossa EDO, fica:
Isso é uma equação diferencial de primeira ordem para .

Passo 4

Para resolver , usamos o método do fator integrante. O fator integrante é dado por:
Multiplicamos toda a equação por :
Isso simplifica para:
Integrando ambos os lados:
Então:

Passo 5

Lembrando que , temos:
Integramos novamente para encontrar :
A integral não é uma função elementar, mas podemos deixá-la assim ou expressá-la em termos de funções especiais.

Resposta

A solução geral da equação é:
onde e são constantes de integração.

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© Determine .
(b) Escreva a série de potências que define a função e determine o domínio de .
Resp: e .
Seja a função definida por Determine a série de Maclaurin para e mostre que ela converge para todos os valores de , mas que ela representa somente se .
Para quais valores positivos de você pode substituir por com um erro que não ultrapasse do valor de ?