(d)
, quando o ponto ordinário for
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos traz uma equação diferencial de segunda ordem:
. O conteúdo que vamos usar aqui é de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), especialmente aquelas de segunda ordem com coeficientes que dependem de
. Nosso ponto de partida é verificar se
é um ponto ordinário, o que nos ajuda a resolver a equação mais facilmente.
Passo 2
Primeiro, vamos confirmar que
é um ponto ordinário. Em EDOs, um ponto ordinário é aquele onde os coeficientes da equação não têm singularidades. Olhando para a nossa equação
, vemos que
é bem comportada em
(já que
). Então,
é realmente um ponto ordinário.
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação. Ela é linear e homogênea, então podemos simplificar reduzindo a ordem da equação. Vamos fazer a substituição
. Assim,
. Substituindo na nossa EDO, fica:
Isso é uma equação diferencial de primeira ordem para
.
Passo 4
Para resolver
, usamos o método do fator integrante. O fator integrante
é dado por:
Multiplicamos toda a equação por
:
Isso simplifica para:
Integrando ambos os lados:
Então:
Passo 5
Lembrando que
, temos:
Integramos novamente para encontrar
:
A integral
não é uma função elementar, mas podemos deixá-la assim ou expressá-la em termos de funções especiais.
Resposta
A solução geral da equação é:
onde
e
são constantes de integração.
Exercícios relacionados
© Determine
.
(b) Escreva a série de potências que define a função
e determine o domínio de
.
Resp: e
.
Resp:
Seja
a função definida por
Determine a série de Maclaurin para
e mostre que ela converge para todos os valores de
, mas que ela representa
somente se
.
Para quais valores positivos de
você pode substituir
por
com um erro que não ultrapasse
do valor de
?