Quão precisa é a aproximação quando ? Para quais valores de ocorrerá de ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar quão boa é a aproximação quando . Além disso, quer saber para quais valores de temos que . Para resolver isso, vamos usar conceitos de séries de Taylor e entender um pouquinho sobre o comportamento da função seno.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a série de Taylor para a função seno em torno de é dada por:
Para valores de bem pequenos, os termos de ordem superior (como , , etc.) são tão pequenos que podemos desprezar. Então, a aproximação é a primeira aproximação dessa série.

Passo 3

Agora, queremos saber quão precisa é essa aproximação quando . Vamos calcular o erro dessa aproximação. O erro é dado pelo primeiro termo que a gente ignorou, ou seja, . Então:
Como , substituindo:
Isso mostra que a aproximação é extremamente precisa para , com um erro da ordem de .

Passo 4

Agora, vamos ver para quais valores de teremos . Observando a série de Taylor novamente:
Podemos rearranjar para ver a diferença:
Para que , precisamos que , ou seja:
Isso acontece quando é negativo, porque se , então também é negativo, tornando a expressão positiva.

Resposta

A aproximação é extremamente precisa quando , com um erro da ordem de . Além disso, para todos os valores de negativos, ocorre que .

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Determine uma aproximação de com prescisão de três casas decimais.
Obtenha uma representação em série de potências em torno de (dado abaixo) para as funções, abaixo, e determine o intervalo de convergência de cada uma.
(a) ,
(d) , com erro menor que
(b) Escreva a série de potências que define a função e determine o domínio de .
Resp: e .