(d) , com erro menor que

Passo 1

Vamos resolver a integral . Estamos lidando com uma função que não possui uma antiderivada fácil de encontrar, então vamos usar uma série de Taylor para aproximar o valor dessa integral com um erro menor que .

Passo 2

Primeiro, lembramos que a série de Taylor para é:
Aqui, substituímos por :

Passo 3

Vamos integrar termo a termo:
Integrando cada termo:
Agora, vamos avaliar essa expressão de a .

Passo 4

Calculando cada termo na avaliação de a :
  1. Primeiro termo:
  1. Segundo termo:
  1. Terceiro termo:
Os termos seguintes serão ainda menores e, portanto, negligenciáveis para o nosso nível de precisão.

Resposta

Somando os termos calculados:
Portanto, o valor aproximado da integral é , com um erro menor que .

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(b) Escreva a série de potências que define a função e determine o domínio de .
Resp: e .
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