(d)
, com erro menor que
Passo 1
Vamos resolver a integral . Estamos lidando com uma função que não possui uma antiderivada fácil de encontrar, então vamos usar uma série de Taylor para aproximar o valor dessa integral com um erro menor que
.
Passo 2
Primeiro, lembramos que a série de Taylor para é:
Aqui, substituímos
por
:
Passo 3
Vamos integrar termo a termo:
Integrando cada termo:
Agora, vamos avaliar essa expressão de
a
.
Passo 4
Calculando cada termo na avaliação de
a
:
- Primeiro termo:
- Segundo termo:
- Terceiro termo:
Os termos seguintes serão ainda menores e, portanto, negligenciáveis para o nosso nível de precisão.
Resposta
Somando os termos calculados:
Portanto, o valor aproximado da integral é
, com um erro menor que
.
Exercícios relacionados
Quão precisa é a aproximação
quando
? Para quais valores de
ocorrerá de
?
Determine uma aproximação de
com prescisão de três casas decimais.
(b) Escreva a série de potências que define a função
e determine o domínio de
.
Resp: e
.
Resp:
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.