(d) integral0^0,2 sen(x^2) d x, com erro menor que 10^-3

Passo 1

Vamos resolver a integral . Estamos lidando com uma função que não possui uma antiderivada fácil de encontrar, então vamos usar uma série de Taylor para aproximar o valor dessa integral com um erro menor que .

Passo 2

Primeiro, lembramos que a série de Taylor para é:
Aqui, substituímos sen(u) = u - u^33! + u^55! - u^77! + dots por sen(x^2) = x^2 - x^63! + x^105! - x^147! + dots :

Passo 3

Vamos integrar termo a termo:
Integrando cada termo:
integral sen(x^2) , dx = integral ( x^2 - x^63! + x^105! - x^147! + dots ) dx
Agora, vamos avaliar essa expressão de = x^33 - x^77 cdot 3! + x^1111 cdot 5! - x^1515 cdot 7! + dots a .

Passo 4

Calculando cada termo na avaliação de (0,2)^33 = 0,0083 approx 0,002666 a - (0,2)^77 cdot 6 = -0,00012842 approx -0,000003 :
  1. Primeiro termo:
(0,2)^1111 cdot 120 approx 0,00000020481320 approx 0,000000155
  1. Segundo termo:
  1. Terceiro termo:
Os termos seguintes serão ainda menores e, portanto, negligenciáveis para o nosso nível de precisão.

Resposta

Somando os termos calculados:
0,002666 - 0,000003 + 0,000000155 approx 0,002663
Portanto, o valor aproximado da integral é , com um erro menor que .

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