(b) Escreva a solução geral de
e
, na forma fase-amplitude.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a solução geral das equações diferenciais
e
na forma fase-amplitude. Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar as raízes da equação característica de cada diferencial e, a partir delas, determinar a solução geral usando funções trigonométricas na forma fase-amplitude.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação diferencial
. Para isso, formamos a equação característica associada:
. Precisamos encontrar as raízes dessa equação.
Passo 3
Aplicando a fórmula de Bhaskara para resolver
:
Como o discriminante é negativo (
), as raízes são complexas.
Passo 4
As raízes são
. Quando temos raízes complexas da forma
, a solução geral da equação diferencial é:
Substituindo
e
, temos:
Passo 5
Agora, vamos resolver a segunda equação diferencial
. A equação característica associada é
. Vamos encontrar as raízes dessa equação.
Passo 6
Resolvendo
:
As raízes são puramente imaginárias:
.
Passo 7
Quando as raízes são
, a solução geral da equação diferencial é:
Substituindo
, temos:
Resposta
A solução geral das equações diferenciais na forma fase-amplitude é:
Para
:
Para
:
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