(b) Escreva a solução geral de e , na forma fase-amplitude.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a solução geral das equações diferenciais e na forma fase-amplitude. Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar as raízes da equação característica de cada diferencial e, a partir delas, determinar a solução geral usando funções trigonométricas na forma fase-amplitude.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação diferencial . Para isso, formamos a equação característica associada: . Precisamos encontrar as raízes dessa equação.

Passo 3

Aplicando a fórmula de Bhaskara para resolver :
Como o discriminante é negativo ( ), as raízes são complexas.

Passo 4

As raízes são . Quando temos raízes complexas da forma , a solução geral da equação diferencial é:
Substituindo e , temos:

Passo 5

Agora, vamos resolver a segunda equação diferencial . A equação característica associada é . Vamos encontrar as raízes dessa equação.

Passo 6

Resolvendo :
As raízes são puramente imaginárias: .

Passo 7

Quando as raízes são , a solução geral da equação diferencial é:
Substituindo , temos:

Resposta

A solução geral das equações diferenciais na forma fase-amplitude é:
Para :
Para :

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