Resolva a EDO y'' + 4y = 3 sen(x), de duas formas diferentes:
Pelo método da variação de Parâmetros

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial ordinária (EDO) usando o método da variação de parâmetros. Essa equação faz parte do estudo de equações diferenciais lineares de segunda ordem. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea associada e, em seguida, encontrar uma solução particular para a parte não homogênea usando variação de parâmetros.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: . Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
Para resolver, encontramos as raízes da equação característica:
Como as raízes são complexas, a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa usando o método da variação de parâmetros.
Primeiro, identificamos as soluções da homogênea:
O método da variação de parâmetros nos diz que a solução particular pode ser escrita como:
onde e são funções a serem determinadas.
Calculamos as derivadas:
Para simplificar, impomos a condição:
Isso reduz a expressão para:
Substituindo na equação original :
Como e , isso simplifica para:
Agora, temos o sistema de equações:
Resolvendo esse sistema, encontramos e :
Integrando para encontrar e :
Despre as constantes de integração, podemos ignorá-las na solução particular.
Portanto, a solução particular é:
Simplificando:
Após simplificações adicionais, obtemos:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde e são constantes arbitrárias.

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