(b) Dê um exemplo de uma função que tenha um ponto crítico que seja um ponto de inflexão.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente dar um exemplo de uma função que tenha um ponto crítico que também seja um ponto de inflexão. Estamos lidando com derivadas aqui, especificamente com conceitos de pontos críticos e pontos de inflexão. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar derivadas e analisar onde essas derivadas indicam comportamentos específicos na função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um ponto crítico. Um ponto crítico de uma função ocorre onde a primeira derivada é igual a zero ou não existe. Esses pontos são importantes porque podem indicar máximos, mínimos ou pontos de inflexão.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre ponto de inflexão. Um ponto de inflexão é onde a concavidade da função muda, ou seja, a segunda derivada muda de sinal (de positiva para negativa ou vice-versa). Isso significa que a curva da função passa de estando “para cima” para “para baixo” ou o contrário nesse ponto.

Passo 4

Para encontrar uma função que atenda aos critérios do exercício, precisamos que haja um ponto onde a primeira derivada seja zero (ponto crítico) e que, nesse mesmo ponto, a segunda derivada tamb��m seja zero e mude de sinal, indicando um ponto de inflexão.

Passo 5

Vamos considerar a função . Vamos calcular suas derivadas primeiro e depois verificar os pontos críticos e de inflexão.

Passo 6

Calculando a primeira derivada:
Agora, encontramos onde :
Então, é um ponto crítico.

Passo 7

Calculando a segunda derivada:
Agora, vamos ver o que acontece com em torno de :
  • Para ,
  • Para ,
Isso mostra que a concavidade da função muda de negativa para positiva quando passamos por , caracterizando um ponto de inflexão.

Resposta

Um exemplo de função que tem um ponto crítico que é um ponto de inflexão é .

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