(b) Dê um exemplo de uma função que tenha um ponto crítico que seja um ponto de inflexão.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente dar um exemplo de uma função que tenha um ponto crítico que também seja um ponto de inflexão. Estamos lidando com derivadas aqui, especificamente com conceitos de pontos críticos e pontos de inflexão. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar derivadas e analisar onde essas derivadas indicam comportamentos específicos na função.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um ponto crítico. Um ponto crítico de uma função ocorre onde a primeira derivada é igual a zero ou não existe. Esses pontos são importantes porque podem indicar máximos, mínimos ou pontos de inflexão.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre ponto de inflexão. Um ponto de inflexão é onde a concavidade da função muda, ou seja, a segunda derivada muda de sinal (de positiva para negativa ou vice-versa). Isso significa que a curva da função passa de estando “para cima” para “para baixo” ou o contrário nesse ponto.
Passo 4
Para encontrar uma função que atenda aos critérios do exercício, precisamos que haja um ponto onde a primeira derivada seja zero (ponto crítico) e que, nesse mesmo ponto, a segunda derivada tamb��m seja zero e mude de sinal, indicando um ponto de inflexão.
Passo 5
Vamos considerar a função
. Vamos calcular suas derivadas primeiro e depois verificar os pontos críticos e de inflexão.
Passo 6
Calculando a primeira derivada:
Agora, encontramos onde
:
Então,
é um ponto crítico.
Passo 7
Calculando a segunda derivada:
Agora, vamos ver o que acontece com
em torno de
:
- Para
, - Para
,
Isso mostra que a concavidade da função muda de negativa para positiva quando passamos por
, caracterizando um ponto de inflexão.
Resposta
Um exemplo de função que tem um ponto crítico que é um ponto de inflexão é
.
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