Determine a transformada de Laplace inversa das funções
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a transformada de Laplace inversa da função . Aqui estamos trabalhando com Transformadas de Laplace, um tópico essencial para resolver equações diferenciais. Para resolver isso, vamos precisar usar frações parciais e conhecer as transformadas inversas básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos decompor a fração em frações parciais. Isso facilita a aplicação da transformada inversa, já que lidamos com termos mais simples. A ideia é expressar como a soma de termos mais fáceis de transformar.
Passo 3
Assumimos que pode ser escrito da seguinte forma:
Aqui, , e são constantes que precisamos encontrar.
Passo 4
Multiplicando ambos os lados pelo denominador comum para eliminar as frações:
Agora, vamos expandir e organizar os termos:
Agrupando os termos semelhantes:
Para que essa igualdade seja válida para todos os valores de , os coeficientes de cada potência de devem ser iguais dos dois lados da equação. Assim, temos o sistema de equações:
Resolvendo o sistema:
De , temos .
De , substituindo :
Substituindo na terceira equação:
Então:
Passo 5
Agora que temos os valores de , e , podemos reescrever :
Simplificando:
Agora, aplicamos a transformada de Laplace inversa em cada termo: