Determine a transformada de Laplace inversa das funções F(s) = 3 / ((s - 1)(s^2 + 4))

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a transformada de Laplace inversa da função . Aqui estamos trabalhando com Transformadas de Laplace, um tópico essencial para resolver equações diferenciais. Para resolver isso, vamos precisar usar frações parciais e conhecer as transformadas inversas básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a fração em frações parciais. Isso facilita a aplicação da transformada inversa, já que lidamos com termos mais simples. A ideia é expressar como a soma de termos mais fáceis de transformar.

Passo 3

Assumimos que pode ser escrito da seguinte forma:
Aqui, , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Multiplicando ambos os lados pelo denominador comum para eliminar as frações:
Agora, vamos expandir e organizar os termos:
Agrupando os termos semelhantes:
Para que essa igualdade seja válida para todos os valores de , os coeficientes de cada potência de devem ser iguais dos dois lados da equação. Assim, temos o sistema de equações:
Resolvendo o sistema:
  1. De , temos .
  2. De , substituindo :
  1. Substituindo na terceira equação:
Então:

Passo 5

Agora que temos os valores de , e , podemos reescrever :
Simplificando:
Agora, aplicamos a transformada de Laplace inversa em cada termo:

Resposta

Portanto, a transformada de Laplace inversa de é:

Exercícios relacionados