Determine a transformada de Laplace inversa das funções

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a transformada de Laplace inversa da função . Aqui estamos trabalhando com Transformadas de Laplace, um tópico essencial para resolver equações diferenciais. Para resolver isso, vamos precisar usar frações parciais e conhecer as transformadas inversas básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a fração em frações parciais. Isso facilita a aplicação da transformada inversa, já que lidamos com termos mais simples. A ideia é expressar como a soma de termos mais fáceis de transformar.

Passo 3

Assumimos que pode ser escrito da seguinte forma:
Aqui, , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Multiplicando ambos os lados pelo denominador comum para eliminar as frações:
Agora, vamos expandir e organizar os termos:
Agrupando os termos semelhantes:
Para que essa igualdade seja válida para todos os valores de , os coeficientes de cada potência de devem ser iguais dos dois lados da equação. Assim, temos o sistema de equações:
Resolvendo o sistema:
  1. De , temos .
  2. De , substituindo :
  1. Substituindo na terceira equação:
Então:

Passo 5

Agora que temos os valores de , e , podemos reescrever :
Simplificando:
Agora, aplicamos a transformada de Laplace inversa em cada termo:

Resposta

Portanto, a transformada de Laplace inversa de é:

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(b) Dê um exemplo de uma função que tenha um ponto crítico que seja um ponto de inflexão.
Classifique as séries abaixo como Divergente, Condicionalmente convergente ou Absolutamente Convergente
Classifique as séries abaixo como Divergente, Condicionalmente convergente ou Absolutamente Convergente
© Dê um exemplo de uma função que tenha um extremo absoluto que não seja ponto crítico.