Classifique as séries abaixo como Divergente, Condicionalmente convergente ou Absolutamente Convergente
sumn=1^infty qk(ln (k))^k

Passo 1

Resumo da questão: Temos a série infinita e precisamos classificá-la como Divergente, Condicionalmente Convergente ou Absolutamente Convergente. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão, que é útil para séries com termos que envolvem potências ou fatores que crescem rapidamente.

Passo 2

Aplicando o Teste da Razão: Esse teste nos ajuda a determinar a convergência de uma série examinando o limite do quociente entre termos consecutivos. A fórmula do Teste da Razão é:
L = limn to infty | an+1an |
Se , a série converge absolutamente; se , a série diverge; e se , o teste é inconclusivo.

Passo 3

Calculando o limite L = limn to infty | q(n+1) (ln(n+1))^n+1qn (ln(n))^n | = limn to infty n (ln(n))^n(n+1) (ln(n+1))^n+1 : Vamos encontrar . Então,

Passo 4

Simplificando a expressão:
L = limn to infty nn+1 cdot ( ln(n)ln(n+1) )^n cdot 1ln(n+1)
Observamos que:
  • quando .
  • para valores grandes de .

Passo 5

Analisando o termo ln(n)ln(n+1) approx 1 - 1n ln(n) :
Podemos aproximar:
(1 - 1n ln(n))^n approx e^- 1ln(n)
Então,
L = 1 times 1 times 1ln(n) to 0
À medida que , . Portanto,

Passo 6

Conclusão do teste:
Como , o Teste da Razão nos diz que a série converge absolutamente.

Resposta

A série é Absolutamente Convergente.

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