Classifique as séries abaixo como Divergente, Condicionalmente convergente ou Absolutamente Convergente

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma série infinita pra analisar: . Nosso objetivo aqui é descobrir se essa série é divergente, condicionalmente convergente ou absolutamente convergente. Para isso, vamos usar alguns conceitos de matemática sobre séries, como teste da convergência absoluta e o teste da série alternada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa cada tipo de convergência:
  • Convergente Absolutamente: Se a série formada pelos valores absolutos dos termos da série original converge, então a série original também converge absolutamente.
  • Convergente Condicionalmente: Se a série original converge, mas a série dos valores absolutos não converge, então a convergência é condicional.
  • Divergente: Se a série original não converge, ela é divergente.

Passo 3

Vamos começar verificando a convergência absoluta. Para isso, consideramos os valores absolutos dos termos da série:
Sabemos que para todo . Então:

Passo 4

Agora, vamos analisar a série . Podemos notar que cresce exponencialmente, muito mais rápido que . Para verificar a convergência, podemos usar o Teste da Comparação.
Sabemos que é uma série geométrica com razão , que converges. Já que , pela comparação, a série também converge.

Passo 5

Como a série dos valores absolutos converge, concluímos que a série original converge absolutamente. Não precisamos verificar a convergência condicional, pois a convergência absoluta é uma condição mais forte.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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