Classifique as séries abaixo como Divergente, Condicionalmente convergente ou Absolutamente Convergente
sumn=1^infty cos (n)e^n n

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma série infinita pra analisar: sumn=1^infty cos (n)e^n n. Nosso objetivo aqui é descobrir se essa série é divergente, condicionalmente convergente ou absolutamente convergente. Para isso, vamos usar alguns conceitos de matemática sobre séries, como teste da convergência absoluta e o teste da série alternada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa cada tipo de convergência:
  • Convergente Absolutamente: Se a série formada pelos valores absolutos dos termos da série original converge, então a série original também converge absolutamente.
  • Convergente Condicionalmente: Se a série original converge, mas a série dos valores absolutos não converge, então a convergência é condicional.
  • Divergente: Se a série original não converge, ela é divergente.

Passo 3

Vamos começar verificando a convergência absoluta. Para isso, consideramos os valores absolutos dos termos da série:
sumn=1^infty | cos(n)e^n n | = sumn=1^infty |cos(n)|e^n n
Sabemos que |cos(n)| <= 1 para todo n. Então:
|cos(n)|e^n n <= 1e^n n

Passo 4

Agora, vamos analisar a série sumn=1^infty 1e^n n. Podemos notar que e^n cresce exponencialmente, muito mais rápido que n. Para verificar a convergência, podemos usar o Teste da Comparação.
Sabemos que sumn=1^infty 1e^n é uma série geométrica com razão r = 1e < 1, que converges. Já que 1e^n n <= 1e^n, pela comparação, a série sumn=1^infty 1e^n n também converge.

Passo 5

Como a série dos valores absolutos converge, concluímos que a série original sumn=1^infty cos(n)e^n n converge absolutamente. Não precisamos verificar a convergência condicional, pois a convergência absoluta é uma condição mais forte.

Resposta

A série sumn=1^infty cos(n)e^n n é absolutamente convergente.

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