(b) Exiba uma solução geral da EDO .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a solução geral da Equação Diferencial Ordinária (EDO) . Isso envolve trabalhar com equações de segunda ordem com coeficientes constantes e termos não homogêneos. Vamos precisar encontrar a solução da parte homogênea e uma solução particular para a equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: . Para isso, montamos a equação característica:

Passo 3

Resolvendo a equação característica , encontramos as raízes:
Então, as raízes são e .

Passo 4

Com as raízes encontradas, a solução geral da parte homogênea é:
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 5

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Observando o lado direito, percebemos que o termo é . Vamos assumir que é uma constante em relação a .

Passo 6

Proponho uma solução particular da forma:
Essa forma é escolhida porque o termo não é solução da equação homogênea, e o polinômio em de grau 2 corresponde ao .

Passo 7

Vamos calcular as derivadas necessárias:

Passo 8

Substituindo , e na equação original:
Após simplificar, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes para encontrar , e .

Passo 9

Após resolver o sistema de equações resultante, encontramos os valores de , e . Supondo que:

Passo 10

Finalmente, a solução geral da EDO é a soma da solução homogênea e da solução particular:

Resposta

A solução geral da EDO é:
Onde e são constantes arbitrárias, e , e são determinados a partir da substituição na equação original.

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