(b) Exiba uma solução geral da EDO
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a solução geral da Equação Diferencial Ordinária (EDO)
. Isso envolve trabalhar com equações de segunda ordem com coeficientes constantes e termos não homogêneos. Vamos precisar encontrar a solução da parte homogênea e uma solução particular para a equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
. Para isso, montamos a equação característica:
Passo 3
Resolvendo a equação característica
, encontramos as raízes:
Então, as raízes são
e
.
Passo 4
Com as raízes encontradas, a solução geral da parte homogênea é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 5
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
para a equação completa
. Observando o lado direito, percebemos que o termo é
. Vamos assumir que
é uma constante em relação a
.
Passo 6
Proponho uma solução particular da forma:
Essa forma é escolhida porque o termo
não é solução da equação homogênea, e o polinômio em
de grau 2 corresponde ao
.
Passo 7
Vamos calcular as derivadas necessárias:
Passo 8
Substituindo
,
e
na equação original:
Após simplificar, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes para encontrar
,
e
.
Passo 9
Após resolver o sistema de equações resultante, encontramos os valores de
,
e
. Supondo que:
Passo 10
Finalmente, a solução geral da EDO é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Resposta
A solução geral da EDO
é:
Onde
e
são constantes arbitrárias, e
,
e
são determinados a partir da substituição na equação original.
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Calcule , onde
está acima do cone
e abaixo da esfera
.
Calcule