(b) Obtenha a série de Fourier da extensão periódica da função
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a série de Fourier para uma função que se repete periodicamente. A função dada é:
Vamos usar os conceitos de Fourier, que nos ajudam a representar funções periódicas como soma de senos e cossenos. Para isso, vamos precisar calcular os coeficientes de Fourier
,
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o coeficiente
, que representa a média da função ao longo do período. A fórmula para
é:
No nosso caso, o período
, então:
Vamos dividir a integral conforme a definição da função:
Calculando cada parte:
Então,
Passo 3
Agora, vamos calcular os coeficientes
, que estão ligados aos termos de cosseno na série de Fourier. A fórmula para
é:
Substituindo
:
Novamente, vamos dividir a integral:
Observando a função
ser ímpar (
) e
ser par (
), o produto será ímpar. A integral de uma função ímpar em um intervalo simétrico é zero. Portanto:
Passo 4
Vamos agora calcular os coeficientes
, que correspondem aos termos de seno na série de Fourier. A fórmula para
é:
Substituindo
:
Dividindo a integral conforme a função:
Novamente, notamos que
é ímpar e
também é ímpar, então o produto será par. Podemos simplificar:
Vamos resolver essa integral por partes. Seja
e
. Então,
e
.
Aplicando a integração por partes:
Calculando de 0 a 1:
Substituindo os limites:
Sabemos que
e
, então:
Multiplicando por 2:
Resposta
A série de Fourier da extensão periódica da função dada é:
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(b) Exiba uma solução geral da EDO
.
(a) Use transformada de Laplace para resolver o PVI:
Utilize coordenadas esféricas.
Calcule , onde
está acima do cone
e abaixo da esfera
.
Calcule
Utilize coordenadas esféricas.
Calcule , onde
é o hemisfério sólido
.
Calcule