(b) Obtenha a série de Fourier da extensão periódica da função

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a série de Fourier para uma função que se repete periodicamente. A função dada é:
Vamos usar os conceitos de Fourier, que nos ajudam a representar funções periódicas como soma de senos e cossenos. Para isso, vamos precisar calcular os coeficientes de Fourier , e .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o coeficiente , que representa a média da função ao longo do período. A fórmula para é:
No nosso caso, o período , então:
Vamos dividir a integral conforme a definição da função:
Calculando cada parte:
Então,

Passo 3

Agora, vamos calcular os coeficientes , que estão ligados aos termos de cosseno na série de Fourier. A fórmula para é:
Substituindo :
Novamente, vamos dividir a integral:
Observando a função ser ímpar ( ) e ser par ( ), o produto será ímpar. A integral de uma função ímpar em um intervalo simétrico é zero. Portanto:

Passo 4

Vamos agora calcular os coeficientes , que correspondem aos termos de seno na série de Fourier. A fórmula para é:
Substituindo :
Dividindo a integral conforme a função:
Novamente, notamos que é ímpar e também é ímpar, então o produto será par. Podemos simplificar:
Vamos resolver essa integral por partes. Seja e . Então, e .
Aplicando a integração por partes:
Calculando de 0 a 1:
Substituindo os limites:
Sabemos que e , então:
Multiplicando por 2:

Resposta

A série de Fourier da extensão periódica da função dada é:

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(b) Exiba uma solução geral da EDO .
(a) Use transformada de Laplace para resolver o PVI:
Utilize coordenadas esféricas.
Calcule , onde está acima do cone e abaixo da esfera .
Utilize coordenadas esféricas.
Calcule , onde é o hemisfério sólido .