Utilize coordenadas esféricas.
Calcule integral triplaE y^2 z^2 d V, onde E está acima do cone phi=pi / 3 e abaixo da esfera rho=1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral tripla integral triplaE y^2 z^2 d V, onde a região E está acima do cone definido por phi = pi / 3 e abaixo da esfera de raio rho = 1. Vamos usar coordenadas esféricas para facilitar esse cálculo. Para isso, vamos precisar lembrar das fórmulas de conversão para coordenadas esféricas e entender como definir os limites de integração nessa nova coordenada.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como transformar as coordenadas cartesianas (x, y, z) para coordenadas esféricas (rho, phi, theta). As fórmulas são:
x = rho sin phi cos theta y = rho sin phi sin theta z = rho cos phi
E o elemento de volume em coordenadas esféricas é dado por:
dV = rho^2 sin phi , drho , dphi , dtheta

Passo 3

Agora, vamos expressar a função que queremos integrar, y^2 z^2, em termos de coordenadas esféricas. Substituindo as expressões de y e z, temos:
y^2 z^2 = (rho sin phi sin theta)^2 (rho cos phi)^2 = rho^4 sin^2 phi sin^2 theta cos^2 phi

Passo 4

Com isso, nossa integral tripla fica:
integral triplaE y^2 z^2 d V = integral0^2pi integral0^pi/3 integral0^1 rho^4 sin^2 phi sin^2 theta cos^2 phi cdot rho^2 sin phi , drho , dphi , dtheta
Simplificando os termos de rho:
= integral0^2pi integral0^pi/3 integral0^1 rho^6 sin^3 phi sin^2 theta cos^2 phi , drho , dphi , dtheta

Passo 5

Vamos resolver a integral em etapas, começando com a integração em relação a rho:
integral0^1 rho^6 , drho = [ rho^77 ]0^1 = 17

Passo 6

Agora, nossa integral fica:
17 integral0^2pi integral0^pi/3 sin^3 phi sin^2 theta cos^2 phi , dphi , dtheta
Vamos resolver a integral em relação a theta primeiro:
integral0^2pi sin^2 theta , dtheta = pi
Isso porque integral0^2pi sin^2 theta , dtheta = pi

Passo 7

Agora, a integral reduzida é:
17 cdot pi integral0^pi/3 sin^3 phi cos^2 phi , dphi
Vamos resolver a integral em relação a phi. Podemos usar substituição:
Deixe u = cos phi, então du = -sin phi , dphi
Expressando a integral:
integral sin^3 phi cos^2 phi , dphi = integral sin^2 phi cdot sin phi cos^2 phi , dphi = integral (1 - cos^2 phi) cdot (-u^2) , du = -integral (u^2 - u^4) , du
Integrando:
- ( u^33 - u^55 ) + C = -u^33 + u^55 + C
Substituindo de volta u = cos phi:
-cos^3 phi3 + cos^5 phi5 + C
Agora, avaliamos de 0 a pi/3:
[ -cos^3 (pi/3)3 + cos^5 (pi/3)5 ] - [ -cos^3 (0)3 + cos^5 (0)5 ]
Sabendo que cos (pi/3) = 0.5 e cos(0) = 1:
( -(0.5)^33 + (0.5)^55 ) - ( -13 + 15 ) = ( -124 + 180 ) - ( -13 + 15 )
Calculando os valores:
-124 + 180 = -10240 + 3240 = -7240
-13 + 15 = -515 + 315 = -215
Portanto:
-7240 - ( -215 ) = -7240 + 32240 = 25240 = 548

Passo 8

Finalmente, multiplicamos todos os termos:
17 cdot pi cdot 548 = 5pi336 = pi67.2

Resposta

O valor da integral tripla é dfrac5pi336.

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