Utilize coordenadas esféricas.
Calcule , onde está acima do cone e abaixo da esfera .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral tripla , onde a região está acima do cone definido por e abaixo da esfera de raio . Vamos usar coordenadas esféricas para facilitar esse cálculo. Para isso, vamos precisar lembrar das fórmulas de conversão para coordenadas esféricas e entender como definir os limites de integração nessa nova coordenada.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como transformar as coordenadas cartesianas para coordenadas esféricas . As fórmulas são:
E o elemento de volume em coordenadas esféricas é dado por:

Passo 3

Agora, vamos expressar a função que queremos integrar, , em termos de coordenadas esféricas. Substituindo as expressões de e , temos:

Passo 4

Com isso, nossa integral tripla fica:
Simplificando os termos de :

Passo 5

Vamos resolver a integral em etapas, começando com a integração em relação a :

Passo 6

Agora, nossa integral fica:
Vamos resolver a integral em relação a primeiro:
Isso porque

Passo 7

Agora, a integral reduzida é:
Vamos resolver a integral em relação a . Podemos usar substituição:
Deixe , então
Expressando a integral:
Integrando:
Substituindo de volta :
Agora, avaliamos de a :
Sabendo que e :
Calculando os valores:
Portanto:

Passo 8

Finalmente, multiplicamos todos os termos:

Resposta

O valor da integral tripla é .

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(b) Obtenha a série de Fourier da extensão periódica da função
(b) Exiba uma solução geral da EDO .
Utilize coordenadas esféricas.
Calcule , onde é o hemisfério sólido .
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