Utilize coordenadas esféricas.
Calcule , onde está acima do cone e abaixo da esfera .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral tripla , onde a região está acima do cone definido por e abaixo da esfera de raio . Vamos usar coordenadas esféricas para facilitar esse cálculo. Para isso, vamos precisar lembrar das fórmulas de conversão para coordenadas esféricas e entender como definir os limites de integração nessa nova coordenada.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar como transformar as coordenadas cartesianas para coordenadas esféricas . As fórmulas são:
E o elemento de volume em coordenadas esféricas é dado por:
Passo 3
Agora, vamos expressar a função que queremos integrar, , em termos de coordenadas esféricas. Substituindo as expressões de e , temos:
Passo 4
Com isso, nossa integral tripla fica:
Simplificando os termos de :
Passo 5
Vamos resolver a integral em etapas, começando com a integração em relação a :
Passo 6
Agora, nossa integral fica:
Vamos resolver a integral em relação a primeiro:
Isso porque
Passo 7
Agora, a integral reduzida é:
Vamos resolver a integral em relação a . Podemos usar substituição: