Utilize coordenadas esféricas.
Calcule , onde está acima do cone e abaixo da esfera .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral tripla , onde a região está acima do cone definido por e abaixo da esfera de raio . Vamos usar coordenadas esféricas para facilitar esse cálculo. Para isso, vamos precisar lembrar das fórmulas de conversão para coordenadas esféricas e entender como definir os limites de integração nessa nova coordenada.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar como transformar as coordenadas cartesianas para coordenadas esféricas . As fórmulas são:
E o elemento de volume em coordenadas esféricas é dado por:
dV = rho^2 sin phi , drho , dphi , dtheta
Passo 3
Agora, vamos expressar a função que queremos integrar, y^2 z^2, em termos de coordenadas esféricas. Substituindo as expressões de y e z, temos:
y^2 z^2 = (rho sin phi sin theta)^2 (rho cos phi)^2 = rho^4 sin^2 phi sin^2 theta cos^2 phi
Passo 4
Com isso, nossa integral tripla fica:
integral triplaE y^2 z^2 d V = integral0^2pi integral0^pi/3 integral0^1 rho^4 sin^2 phi sin^2 theta cos^2 phi cdot rho^2 sin phi , drho , dphi , dtheta