(a) Use transformada de Laplace para resolver o PVI:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial usando a Transformada de Laplace. A gente tem uma equação do segundo grau com condições iniciais. Vamos precisar lembrar como aplicar a Transformada de Laplace em derivadas e resolver uma equação algébrica para encontrar a solução
.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembrando que a Transformada de Laplace de
é
, e de
é
. Vamos lá:
Passo 3
Agora, aplicando as propriedades da Transformada de Laplace:
As condições iniciais são
e
.
Passo 4
Vamos substituir as condições iniciais na equação:
Simplificando os termos:
Passo 5
Agora, vamos juntar os termos que envolvem
:
Em seguida, isolamos
:
Passo 6
Vamos resolver para
:
Podemos simplificar o denominador
:
Então:
Passo 7
Vamos simplificar a expressão no numerador:
Então:
Passo 8
Vamos decompor
em frações parciais. Queremos escrever:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 9
Vamos encontrar os valores de
,
e
substituindo valores estratégicos de
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 10
Então, substituindo
,
e
na expressão de
:
Agora, vamos aplicar a Transformada Inversa de Laplace para encontrar
.
Passo 11
Aplicando a Transformada Inversa:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
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.
(b) Exiba uma solução geral da EDO
.
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