(a) Use transformada de Laplace para resolver o PVI:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial usando a Transformada de Laplace. A gente tem uma equação do segundo grau com condições iniciais. Vamos precisar lembrar como aplicar a Transformada de Laplace em derivadas e resolver uma equação algébrica para encontrar a solução .

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembrando que a Transformada de Laplace de é , e de é . Vamos lá:

Passo 3

Agora, aplicando as propriedades da Transformada de Laplace:
As condições iniciais são e .

Passo 4

Vamos substituir as condições iniciais na equação:
Simplificando os termos:

Passo 5

Agora, vamos juntar os termos que envolvem :
Em seguida, isolamos :

Passo 6

Vamos resolver para :
Podemos simplificar o denominador :
Então:

Passo 7

Vamos simplificar a expressão no numerador:
Então:

Passo 8

Vamos decompor em frações parciais. Queremos escrever:
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 9

Vamos encontrar os valores de , e substituindo valores estratégicos de :
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Passo 10

Então, substituindo , e na expressão de :
Agora, vamos aplicar a Transformada Inversa de Laplace para encontrar .

Passo 11

Aplicando a Transformada Inversa:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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