(a) Qual o maior intervalo conexo para o qual existe solução do PVI:
(t^2 - 3t) y'' + t y' - (t + 3) y = 0, y(1) = 2 e y'(1) = 1

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um Problema de Valor Inicial (PVI) para uma equação diferencial de segunda ordem, dada por:
O objetivo é encontrar o maior intervalo conexo no qual existe uma solução para esse PVI. Para isso, vamos precisar dos conceitos de equações diferenciais lineares de segunda ordem e das condições de existência e unicidade de soluções, que dependem da continuidade dos coeficientes da equação no intervalo considerado.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial na forma padrão de uma equação linear de segunda ordem:
Para isso, dividimos todos os termos da equação original por , assumindo que :
Aqui, identificamos os coeficientes e :

Passo 3

Sabemos que, para a existência e unicidade de soluções para o PVI, os coeficientes e precisam ser contínuos no intervalo considerado e no ponto inicial .
Vamos analisar onde esses coeficientes são contínuos. Os pontos de descontinuidade ocorrem onde o denominador é igual a zero:
Portanto, os coeficientes e são contínuos em qualquer intervalo que não contenha ou .

Passo 4

Como o ponto inicial é , que está entre e , devemos considerar o intervalo que contém e que não inclui os pontos de descontinuidade.
Assim, o maior intervalo conexo que podemos considerar sem incluir e é:

Resposta

O maior intervalo conexo para o qual existe solução do PVI é .

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