(a) Qual o maior intervalo conexo para o qual existe solução do PVI:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um Problema de Valor Inicial (PVI) para uma equação diferencial de segunda ordem, dada por:
O objetivo é encontrar o maior intervalo conexo no qual existe uma solução para esse PVI. Para isso, vamos precisar dos conceitos de equações diferenciais lineares de segunda ordem e das condições de existência e unicidade de soluções, que dependem da continuidade dos coeficientes da equação no intervalo considerado.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial na forma padrão de uma equação linear de segunda ordem:
Para isso, dividimos todos os termos da equação original por
, assumindo que
:
Aqui, identificamos os coeficientes
e
:
Passo 3
Sabemos que, para a existência e unicidade de soluções para o PVI, os coeficientes
e
precisam ser contínuos no intervalo considerado e no ponto inicial
.
Vamos analisar onde esses coeficientes são contínuos. Os pontos de descontinuidade ocorrem onde o denominador
é igual a zero:
Portanto, os coeficientes
e
são contínuos em qualquer intervalo que não contenha
ou
.
Passo 4
Como o ponto inicial é
, que está entre
e
, devemos considerar o intervalo que contém
e que não inclui os pontos de descontinuidade.
Assim, o maior intervalo conexo que podemos considerar sem incluir
e
é:
Resposta
O maior intervalo conexo para o qual existe solução do PVI é
.
Exercícios relacionados
(b) Obtenha uma solução geral da EDO:
.
Seja
a região no
octante delimitada abaixo pelo cone
e acima pela esfera
. Expresse o volume de D como uma integral tripla em: Coordenadas cilindricas
(a) Use transformada de Laplace para resolver o PVI:
(b) Exiba uma solução geral da EDO
.