(b) Exiba uma solução geral da EDP do calor acima sob as condições de contorno de que
a extremidade esquerda da barra é isolada termicamente e a extremidade direita é mantida à temperatura zero.
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos que encontrar uma solução geral para a Equação Diferencial Parcial (EDP) do calor em uma barra. As condições de contorno são:
A extremidade esquerda da barra está isolada termicamente, o que significa que não há fluxo de calor por esse ponto.
A extremidade direita da barra é mantida à temperatura zero.
Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis e considerar as condições de contorno dadas. Vamos dividir a solução em partes para facilitar o entendimento.
Passo 2
A EDP do calor em uma dimensão é dada por:
Aqui, representa a temperatura na posição e no tempo , e é a difusividade térmica da barra.
Passo 3
Como queremos uma solução geral, assumimos que a solução pode ser escrita como um produto de funções que dependem apenas de e apenas de :
Passo 4
Substituindo na equação do calor, temos:
Dividindo ambos os lados por :
Aqui, é uma constante de separação.
Passo 5
Isso nos leva a duas equações separadas:
Para :
A solução dessa equação é:
Para :
Passo 6
Resolvendo a equação para :
A solução geral dessa equação diferencial é:
Passo 7
Agora, aplicamos as condições de contorno para determinar os coeficientes e e os valores próprios .
Extremidade esquerda isolada termicamente ():
Isso implica que o fluxo de calor é zero, ou seja, a derivada da temperatura em relação a é zero:
Calculando a derivada de :
Aplicando :
Isso implica que .
Então, .
Extremidade direita mantida à temperatura zero ():
Como , devemos ter:
Isso ocorre quando:
Portanto,
Passo 8
Com os valores próprios , a solução para e fica:
Passo 9
A solução geral da EDP do calor é a soma de todas as soluções individuais:
Os coeficientes são determinados pelas condições iniciais da temperatura na barra.
Resposta
A solução geral da EDP do calor com as condições de contorno especificadas é: