(b) Exiba uma solução geral da EDP do calor acima sob as condições de contorno de que
a extremidade esquerda da barra é isolada termicamente e a extremidade direita é mantida à temperatura zero.

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos que encontrar uma solução geral para a Equação Diferencial Parcial (EDP) do calor em uma barra. As condições de contorno são:
  • A extremidade esquerda da barra está isolada termicamente, o que significa que não há fluxo de calor por esse ponto.
  • A extremidade direita da barra é mantida à temperatura zero.
Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis e considerar as condições de contorno dadas. Vamos dividir a solução em partes para facilitar o entendimento.

Passo 2

A EDP do calor em uma dimensão é dada por:
Aqui, representa a temperatura na posição e no tempo , e é a difusividade térmica da barra.

Passo 3

Como queremos uma solução geral, assumimos que a solução pode ser escrita como um produto de funções que dependem apenas de e apenas de :

Passo 4

Substituindo na equação do calor, temos:
Dividindo ambos os lados por :
Aqui, é uma constante de separação.

Passo 5

Isso nos leva a duas equações separadas:
  1. Para :
A solução dessa equação é:
  1. Para :

Passo 6

Resolvendo a equação para :
A solução geral dessa equação diferencial é:

Passo 7

Agora, aplicamos as condições de contorno para determinar os coeficientes e e os valores próprios .
  1. Extremidade esquerda isolada termicamente ( ):
Isso implica que o fluxo de calor é zero, ou seja, a derivada da temperatura em relação a é zero:
Calculando a derivada de :
Aplicando :
Isso implica que .
Então, .
  1. Extremidade direita mantida à temperatura zero ( ):
Como , devemos ter:
Isso ocorre quando:
Portanto,

Passo 8

Com os valores próprios , a solução para e fica:

Passo 9

A solução geral da EDP do calor é a soma de todas as soluções individuais:
Os coeficientes são determinados pelas condições iniciais da temperatura na barra.

Resposta

A solução geral da EDP do calor com as condições de contorno especificadas é:

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Calcule :
(b)
Dê uma parametrização para cada uma das curvas.
a circunferência onde são constantes reais com .
Diferencie cada função aplicando as regras básicas para diferenciação.
Diferencie cada função aplicando as regras básicas para diferenciação.