(b) Existem quatro vetores LI em R^3 ?

Passo 1

E aí! Vamos resolver essa questão sobre vetores em . A pergunta é: Existem quatro vetores linearmente independentes em ? Para responder, vamos precisar entender o que significa vetores serem linearmente independentes e como isso se relaciona com o espaço tridimensional .

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre linearidade. Vetores são linearmente independentes se nenhum deles pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Isso significa que não há uma maneira de “mesclar” alguns vetores para obter outro. Por exemplo, se tivermos vetores e , eles são linearmente independentes se não existir escalares , não todos zero, tais que .

Passo 3

Agora, vamos considerar o espaço . Esse é um espaço tridimensional, o que significa que a dimensão de é 3. E uma propriedade importante das dimensões é que não podemos ter mais vetores linearmente independentes do que a dimensão do espaço. Ou seja, em , o máximo de vetores linearmente independentes que podemos ter é 3.

Passo 4

Então, se tentarmos ter quatro vetores em , inevitavelmente um deles será uma combinação linear dos outros três. Isso porque já atingimos o limite da dimensão do espaço.

Resposta

Não, não existem quatro vetores linearmente independentes em .

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