Determine o cosseno do ângulo entre os planos x+y+z=1 e x-y-z= 5 .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos determinar o cosseno do ângulo entre os planos definidos pelas equações e . Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica envolvendo vetores normais aos planos e a fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores.

Passo 2

Cada plano pode ser representado por uma equação na forma geral , onde o vetor é o vetor normal ao plano. Vamos identificar os vetores normais dos planos dados.
  • Para o plano , o vetor normal é .
  • Para o plano , o vetor normal é .

Passo 3

O cosseno do ângulo cos theta = n1 cdot n2 | n1 | times | n2 | entre dois vetores e é dado pela fórmula:
Onde:
  • é o produto escalar dos vetores.
  • é o módulo (ou comprimento) do vetor .

Passo 4

Vamos calcular o produto escalar n1 cdot n2 = (1)(1) + (1)(-1) + (1)(-1) = 1 - 1 - 1 = -1 :
| n1 | = raiz1^2 + 1^2 + 1^2 = raiz3
Agora, vamos calcular os módulos dos vetores:
| n2 | = raiz1^2 + (-1)^2 + (-1)^2 = raiz3

Passo 5

Substituindo os valores na fórmula do cosseno:
cos theta = -1 raiz3 times raiz3 = -1 3 = -13

Resposta

O cosseno do ângulo entre os planos e é .

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