Sejam
e
a reta
. Ache o ponto simétrico de
em relação à reta
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem o ponto
e a reta
definida pela equação
. O que a gente precisa fazer é encontrar o ponto simétrico de
em relação à reta
. Isso envolve conceitos de geometria analítica, como reflexões em retas e projeções perpendiculares. Vamos precisar usar fórmulas de equação de reta e calcular a projeção de um ponto sobre uma reta para achar a imagem refletida.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação da reta
. A equação dada é
. Para facilitar, vamos colocar essa equação na forma reduzida,
, onde
é o coeficiente angular e
é o coeficiente linear.
Começamos isolando o
:
Então, a equação da reta
na forma reduzida é:
Passo 3
Agora, vamos lembrar como encontrar o ponto simétrico de um ponto em relação a uma reta. O método envolve encontrar a projeção perpendicular do ponto
sobre a reta
e depois refletir
em relaç��o a essa projeção.
Primeiro, precisamos encontrar a projeção do ponto
sobre a reta
.
Passo 4
Para encontrar a projeção perpendicular de
sobre
, usamos a fórmula da projeção de um ponto
sobre uma reta
:
No nosso caso, a equação da reta
é
, então
,
e
. O ponto
tem
e
.
Vamos substituir esses valores na fórmula:
Simplificando:
Então, a projeção de
sobre
é:
Passo 5
Agora que temos a projeção
, vamos encontrar o ponto simétrico
de
em relação à reta
. A ideia é que
é o ponto médio entre
e
.
Usando a fórmula do ponto médio:
Sabemos que
e
. Vamos resolver para
e
:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Isolando
e
:
Portanto, o ponto simétrico de
em relação à reta
é:
Resposta
O ponto simétrico de
em relação à reta
é
.