Sejam A=(1,2) e r a reta x-2 y=3. Ache o ponto simétrico de A em relação à reta r.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem o ponto e a reta definida pela equação . O que a gente precisa fazer é encontrar o ponto simétrico de em relação à reta . Isso envolve conceitos de geometria analítica, como reflexões em retas e projeções perpendiculares. Vamos precisar usar fórmulas de equação de reta e calcular a projeção de um ponto sobre uma reta para achar a imagem refletida.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação da reta x - 2y = 3 -2y = -x + 3 y = 12x - 32 . A equação dada é y = 12x - 32 . Para facilitar, vamos colocar essa equação na forma reduzida, , onde é o coeficiente angular e é o coeficiente linear.
Começamos isolando o :
Então, a equação da reta na forma reduzida é:

Passo 3

Agora, vamos lembrar como encontrar o ponto simétrico de um ponto em relação a uma reta. O método envolve encontrar a projeção perpendicular do ponto sobre a reta e depois refletir em relaç��o a essa projeção.
Primeiro, precisamos encontrar a projeção do ponto sobre a reta .

Passo 4

Para encontrar a projeção perpendicular de (xp, yp) = ( b(bx0 - ay0) - aca^2 + b^2, a(-bx0 + ay0) - bca^2 + b^2 ) sobre xp = (-2)(-2 cdot 1 - 1 cdot 2) - (1)(-3)1^2 + (-2)^2 yp = 1(-(-2) cdot 1 + 1 cdot 2) - (-2)(-3)1^2 + (-2)^2 , usamos a fórmula da projeção de um ponto xp = (-2)(-2 - 2) - (-3)1 + 4 = (-2)(-4) + 35 = 8 + 35 = 115 yp = 1(2 + 2) - 65 = 4 - 65 = -25 sobre uma reta P = ( 115, -25 ) :
No nosso caso, a equação da reta é , então , e . O ponto tem e .
Vamos substituir esses valores na fórmula:
Simplificando:
Então, a projeção de sobre é:

Passo 5

Agora que temos a projeção Px = Ax + A'x2 Py = Ay + A'y2 , vamos encontrar o ponto simétrico 115 = 1 + A'x2 -25 = 2 + A'y2 de 225 = 1 + A'x -45 = 2 + A'y em relação à reta A'x = 225 - 1 = 225 - 55 = 175 A'y = -45 - 2 = -45 - 105 = -145 . A ideia é que A' = ( 175, -145 ) é o ponto médio entre e .
Usando a fórmula do ponto médio:
Sabemos que e . Vamos resolver para e :
Multiplicando ambos os lados por 2:
Isolando e :
Portanto, o ponto simétrico de em relação à reta é:

Resposta

O ponto simétrico de em relação à reta é .

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