Considere
o conjunto dos polinômios de grau 2 com coeficientes reais.
(a) Mostre que
e
são bases de
.
(a) Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar que dois conjuntos de polinômios,
e
, são bases do espaço
, que é o conjunto de todos os polinômios de grau 2 com coeficientes reais. Para isso, vamos precisar entender o que é uma base: basicamente, uma base é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. Vamos seguir passo a passo para verificar essas condições para ambos os conjuntos.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o conjunto
. Esse conjunto é bastante conhecido e geralmente usado como base padrão para
. Precisamos verificar se os elementos são linearmente independentes e se qualquer polinômio de grau 2 pode ser escrito como combinação linear desses elementos.
Passo 3
Vamos verificar a linearidade. Suponha que haja constantes
,
, e
tais que:
Isso significa que:
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo
, os coeficientes devem ser zero:
Como a única solução é
, os polinômios são linearmente independentes.
Passo 4
Agora, precisamos mostrar que qualquer polinômio de grau 2 pode ser escrito como uma combinação linear de
,
e
. Seja um polinômio geral
. Claramente, podemos escrever:
Portanto,
gera todo o espaço
.
Passo 5
Agora, vamos analisar o conjunto
. Precisamos verificar novamente se esses polinômios são linearmente independentes e se geram todo o espaço
.
Passo 6
Primeiro, vamos verificar a linearidade. Suponha que existam constantes
,
, e
tal que:
Expandindo, temos:
Agrupando os termos semelhantes:
Para que isso seja verdadeiro para todo
, os coeficientes devem ser zero:
Resolvendo o sistema:
- Da primeira equação:
- Da segunda:
- Da terceira:
- Portanto,
e
Como a única solução é
, os polinômios são linearmente independentes.
Passo 7
Agora, vamos mostrar que
gera todo o espaço
. Seja um polinômio geral
. Precisamos encontrar
,
, e
tais que:
Isso nos dá o sistema:
Resolvendo esse sistema, encontramos:
-
- Substituindo na terceira equação:
- Substituindo
e na primeira equação: - Portanto,
- Depois,
- E
Assim, conseguimos expressar qualquer
como combinação linear de elementos de
.
Resposta
Portanto, concluímos que tanto
quanto
são bases de
.