Considere P2(R) o conjunto dos polinômios de grau 2 com coeficientes reais.
(a) Mostre que B=1, x, x^2 e B^prime=1+x, x+x^2, 1+x^2 são bases de P2(R).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar que dois conjuntos de polinômios, B = 1, x, x^2 e B^prime = 1+x, x+x^2, 1+x^2, são bases do espaço P2(R), que é o conjunto de todos os polinômios de grau 2 com coeficientes reais. Para isso, vamos precisar entender o que é uma base: basicamente, uma base é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. Vamos seguir passo a passo para verificar essas condições para ambos os conjuntos.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o conjunto B = 1, x, x^2. Esse conjunto é bastante conhecido e geralmente usado como base padrão para P2(R). Precisamos verificar se os elementos são linearmente independentes e se qualquer polinômio de grau 2 pode ser escrito como combinação linear desses elementos.

Passo 3

Vamos verificar a linearidade. Suponha que haja constantes a, b, e c tais que:
a cdot 1 + b cdot x + c cdot x^2 = 0
Isso significa que:
a + b x + c x^2 = 0
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo x, os coeficientes devem ser zero:
a = 0 b = 0 c = 0
Como a única solução é a = b = c = 0, os polinômios são linearmente independentes.

Passo 4

Agora, precisamos mostrar que qualquer polinômio de grau 2 pode ser escrito como uma combinação linear de 1, x e x^2. Seja um polinômio geral p(x) = d + e x + f x^2. Claramente, podemos escrever:
p(x) = d cdot 1 + e cdot x + f cdot x^2
Portanto, B gera todo o espaço P2(R).

Passo 5

Agora, vamos analisar o conjunto B^prime = 1+x, x+x^2, 1+x^2. Precisamos verificar novamente se esses polinômios são linearmente independentes e se geram todo o espaço P2(R).

Passo 6

Primeiro, vamos verificar a linearidade. Suponha que existam constantes a, b, e c tal que:
a(1+x) + b(x+x^2) + c(1+x^2) = 0
Expandindo, temos:
a + a x + b x + b x^2 + c + c x^2 = 0
Agrupando os termos semelhantes:
(a + c) + (a + b) x + (b + c) x^2 = 0
Para que isso seja verdadeiro para todo x, os coeficientes devem ser zero:
a + c = 0 a + b = 0 b + c = 0
Resolvendo o sistema:
  • Da primeira equação: c = -a
  • Da segunda: b = -a
  • Da terceira: -a + (-a) = -2a = 0 Rightarrow a = 0
  • Portanto, b = 0 e c = 0
Como a única solução é a = b = c = 0, os polinômios são linearmente independentes.

Passo 7

Agora, vamos mostrar que B^prime gera todo o espaço P2(R). Seja um polinômio geral p(x) = d + e x + f x^2. Precisamos encontrar a, b, e c tais que:
a(1+x) + b(x+x^2) + c(1+x^2) = d + e x + f x^2
Isso nos dá o sistema:
a + c = d a + b = e b + c = f
Resolvendo esse sistema, encontramos:
  • a = e - b
  • Substituindo na terceira equação: b + c = f Rightarrow c = f - b
  • Substituindo a e c na primeira equação: e - b + f - b = d Rightarrow e + f - 2b = d
  • Portanto, b = e + f - d2
  • Depois, a = e - e + f - d2 = e - f + d2
  • E c = f - e + f - d2 = -e + f + d2
Assim, conseguimos expressar qualquer p(x) como combinação linear de elementos de B^prime.

Resposta

Portanto, concluímos que tanto B = 1, x, x^2 quanto B^prime = 1+x, x+x^2, 1+x^2 são bases de P2(R).

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