(3)A função maior inteiro é definida por
maior inteiro que é menor que ou igual a
. Por exemplo,
.
(a) Mostre que
não existe.
(a) Mostre que
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função maior inteiro, representada por
, que retorna o maior número inteiro menor ou igual a
. O exercício quer que a gente mostre que o limite de
quando
se aproxima de 3 não existe. Para isso, vamos precisar entender o conceito de limite e como a função maior inteiro se comporta perto do ponto 3.
Passo 2
Vamos lembrar o que é um limite. O limite de uma função quando
se aproxima de um valor
existe somente se os limites pela esquerda (
vindo de valores menores que
) e pela direita (
vindo de valores maiores que
) existirem e forem iguais.
Passo 3
Agora, vamos analisar a função
perto de
. Precisamos ver o que acontece com
quando
se aproxima de 3 pela esquerda (valores menores que 3) e pela direita (valores maiores que 3).
Passo 4
Limite pela esquerda (
): Quando
se aproxima de 3 por valores menores que 3, como 2.9, 2.99, 2.999, etc., a função
vai sempre ser 2, porque 2 é o maior inteiro menor que esses valores.
Matematicamente:
Passo 5
Limite pela direita (
): Quando
se aproxima de 3 por valores maiores que 3, como 3.1, 3.01, 3.001, etc., a função
vai ser 3, porque 3 é o maior inteiro menor ou igual a esses valores.
Matematicamente:
Passo 6
Agora, comparamos os dois limites que calculamos. Vimos que:
Como os limites pela esquerda e pela direita são diferentes, isso significa que o limite geral quando
se aproxima de 3 não existe.
Resposta
O limite
não existe porque os limites pela esquerda e pela direita são diferentes.