(3)A função maior inteiro é definida por lfloor xrfloor=0 maior inteiro que é menor que ou igual a x. Por exemplo, lfloor 4rfloor=4,lfloor 4.8rfloor=4,lfloorpirfloor=3,lfloor-12rfloor=-1.
(a) Mostre que lim x 3lfloor xrfloor não existe.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função maior inteiro, representada por lfloor x rfloor, que retorna o maior número inteiro menor ou igual a x. O exercício quer que a gente mostre que o limite de lfloor x rfloor quando x se aproxima de 3 não existe. Para isso, vamos precisar entender o conceito de limite e como a função maior inteiro se comporta perto do ponto 3.

Passo 2

Vamos lembrar o que é um limite. O limite de uma função quando x se aproxima de um valor a existe somente se os limites pela esquerda ( x vindo de valores menores que a) e pela direita ( x vindo de valores maiores que a) existirem e forem iguais.

Passo 3

Agora, vamos analisar a função lfloor x rfloor perto de x = 3. Precisamos ver o que acontece com lfloor x rfloor quando x se aproxima de 3 pela esquerda (valores menores que 3) e pela direita (valores maiores que 3).

Passo 4

Limite pela esquerda ( x 3^-): Quando x se aproxima de 3 por valores menores que 3, como 2.9, 2.99, 2.999, etc., a função lfloor x rfloor vai sempre ser 2, porque 2 é o maior inteiro menor que esses valores.
Matematicamente:
limx 3^- lfloor x rfloor = 2

Passo 5

Limite pela direita ( x 3^+): Quando x se aproxima de 3 por valores maiores que 3, como 3.1, 3.01, 3.001, etc., a função lfloor x rfloor vai ser 3, porque 3 é o maior inteiro menor ou igual a esses valores.
Matematicamente:
limx 3^+ lfloor x rfloor = 3

Passo 6

Agora, comparamos os dois limites que calculamos. Vimos que:
limx 3^- lfloor x rfloor = 2 e limx 3^+ lfloor x rfloor = 3
Como os limites pela esquerda e pela direita são diferentes, isso significa que o limite geral quando x se aproxima de 3 não existe.

Resposta

O limite lim x 3lfloor xrfloor não existe porque os limites pela esquerda e pela direita são diferentes.

Exercícios relacionados