(b) - (1,0): Se f(x)=integral0^x^3(1-t^23) e^t^2 d t, em qual intervalo f é crescente?

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função . O objetivo é descobrir em qual intervalo essa função está crescente. Para isso, vamos usar conceitos de Cálculo Diferencial, especialmente a derivada de funções definidas por integrais.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função f'(x) = ddx ( integral0^x^3 (1 - t^23) e^t^2 , dt ) = (1 - (x^3)^23) e^(x^3)^2 cdot ddx(x^3) . Para isso, usamos o Teorema Fundamental do Cálculo combinado com a Regra da Cadeia. A derivada de uma integral que tem um limite superior dependente de ddx(x^3) = 3x^2 é dada por:
f'(x) = 3x^2 (1 - x^2) e^x^6
Calculando a derivada de :
Então, a derivada de fica:

Passo 3

Agora, para saber onde é crescente, precisamos determinar onde . Vamos analisar cada parte da expressão da derivada:
  1. : Sempre é não negativo porque é sempre positivo ou zero.
  2. : Será positivo quando , ou seja, quando (ou seja, ).
  3. : Sempre positivo para qualquer valor de , pois a exponencial nunca é zero ou negativa.
Multiplicando todas as partes, vemos que quando , já que as outras partes são sempre não negativas e positivas, respectivamente.

Passo 4

Concluímos que é crescente quando , pois é nesse intervalo que a derivada é positiva.

Resposta

é crescente no intervalo .

Exercícios relacionados