(b) - (1,0): Se , em qual intervalo é crescente?

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função . O objetivo é descobrir em qual intervalo essa função está crescente. Para isso, vamos usar conceitos de Cálculo Diferencial, especialmente a derivada de funções definidas por integrais.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função . Para isso, usamos o Teorema Fundamental do Cálculo combinado com a Regra da Cadeia. A derivada de uma integral que tem um limite superior dependente de é dada por:
Calculando a derivada de :
Então, a derivada de fica:

Passo 3

Agora, para saber onde é crescente, precisamos determinar onde . Vamos analisar cada parte da expressão da derivada:
  1. : Sempre é não negativo porque é sempre positivo ou zero.
  2. : Será positivo quando , ou seja, quando (ou seja, ).
  3. : Sempre positivo para qualquer valor de , pois a exponencial nunca é zero ou negativa.
Multiplicando todas as partes, vemos que quando , já que as outras partes são sempre não negativas e positivas, respectivamente.

Passo 4

Concluímos que é crescente quando , pois é nesse intervalo que a derivada é positiva.

Resposta

é crescente no intervalo .

Exercícios relacionados

Mostre que .
Determine o volume do sólido limitado pelos gráficos das equações
(a) - (1,0): Encontre a derivada da função
(b)