Determine o volume do sólido limitado pelos gráficos das equações

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente recebeu um problema onde precisa encontrar o volume de um sólido definido por algumas equações. O conteúdo aqui envolve cálculo de volumes usando integrais múltiplas. Vamos precisar entender as áreas de interseção das superfícies e montar uma integral dupla para calcular o volume.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar as equações que delimitam o sólido:
  • : é uma parábola que abre pra cima no eixo z.
  • : é uma parábola que abre pra baixo no eixo y.
  • : é uma reta no plano xy.
  • : é o plano xy.
Queremos achar a região no plano xy onde essas curvas se interceptam para definir os limites da nossa integral.

Passo 3

Vamos encontrar os pontos de interseção entre e .
Substituindo na segunda equação:
Simplificando:


Multiplicando por -1:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, ou
Correspondente :
Para :
Para :
Então, os pontos de interseção são (2,0) e (-1,3).

Passo 4

Agora, vamos determinar os limites de integração. A região está entre e . Para cada nesse intervalo, varia da reta até a parábola .

Passo 5

A função que define o topo do sólido é e a base está no plano . Então, a altura do sólido em cada ponto (x,y) é .

Passo 6

Montamos a integral dupla para calcular o volume:

Passo 7

Vamos calcular a integral interna primeiro:
Simplificando dentro dos parênteses:
Então:

Passo 8

Agora, expandimos a expressão:

Passo 9

Integramos em relação a :
Calculando cada termo:
Então:

Passo 10

Calculamos para :
Agora para :
Calculando a diferença entre os dois valores.

Resposta

Após calcular as integrais, o volume do sólido é unidades cúbicas, que simplificado fica unidades cúbicas.

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