Determine o volume do sólido limitado pelos gráficos das equações
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente recebeu um problema onde precisa encontrar o volume de um sólido definido por algumas equações. O conteúdo aqui envolve cálculo de volumes usando integrais múltiplas. Vamos precisar entender as áreas de interseção das superfícies e montar uma integral dupla para calcular o volume.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar as equações que delimitam o sólido:
: é uma parábola que abre pra cima no eixo z.
: é uma parábola que abre pra baixo no eixo y.
: é uma reta no plano xy.
: é o plano xy.
Queremos achar a região no plano xy onde essas curvas se interceptam para definir os limites da nossa integral.
Passo 3
Vamos encontrar os pontos de interseção entre e .
Substituindo na segunda equação:
Simplificando:
Multiplicando por -1:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, ou
Correspondente :
Para :
Para :
Então, os pontos de interseção são (2,0) e (-1,3).
Passo 4
Agora, vamos determinar os limites de integração. A região está entre e . Para cada nesse intervalo, varia da reta até a parábola .
Passo 5
A função que define o topo do sólido é e a base está no plano . Então, a altura do sólido em cada ponto (x,y) é .
Passo 6
Montamos a integral dupla para calcular o volume:
Passo 7
Vamos calcular a integral interna primeiro:
Simplificando dentro dos parênteses:
Então:
Passo 8
Agora, expandimos a expressão:
Passo 9
Integramos em relação a :
Calculando cada termo:
Então:
Passo 10
Calculamos para :
Agora para :
Calculando a diferença entre os dois valores.
Resposta
Após calcular as integrais, o volume do sólido é unidades cúbicas, que simplificado fica unidades cúbicas.