Mostre que integral triplaR^3 raizx^2+y^2+z^2 e^-(x^2+y^2+z^2) d V=2 pi.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral tripla que envolve sobre todo o espaço . O conteúdo aqui envolve cálculo em coordenadas esféricas e integrais múltiplas. Para resolver, vamos precisar mudar as coordenadas cartesianas para esféricas, o que vai facilitar bastante a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que em coordenadas esféricas, qualquer ponto no espaço é descrito por três parâmetros: x = r sintheta cosphi (a distância até a origem), y = r sintheta sinphi (o ângulo com o eixo z) e z = r costheta (o ângulo no plano xy). A transformação para coordenadas esféricas é dada por:
dV = r^2 sintheta , dr , dtheta , dphi
E o elemento de volume em coordenadas esféricas é:

Passo 3

Agora, vamos reescrever a nossa integral original em coordenadas esféricas. A expressão integral triplaR^3 r e^-r^2 cdot r^2 sintheta , dr , dtheta , dphi vira simplesmente integral triplaR^3 r^3 e^-r^2 sintheta , dr , dtheta , dphi , e vira . Então, a integral fica:
Isso simplifica para:

Passo 4

Vamos agora separar a integral em partes que dependem de cada variável. Assim, temos:
( integral0^infty r^3 e^-r^2 , dr ) cdot ( integral0^pi sintheta , dtheta ) cdot ( integral0^2pi dphi )
Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente.

Passo 5

Primeiro, a integral em integral0^2pi dphi = 2pi :
Essa parte é direta, já que a função é constante em relação a .

Passo 6

Agora, a integral em integral0^pi sintheta , dtheta :
-costheta |0^pi = -(-1) - (-1) = 2
A antiderivada de é , então:

Passo 7

Finalmente, a integral em integral0^infty r^3 e^-r^2 , dr :
integral0^infty r^3 e^-u cdot 12 du = 12 integral0^infty u e^-u , du
Vamos fazer uma substituição: seja 12 cdot 1 = 12 , então ou . Substituindo:
Sabemos que , então:

Passo 8

Agora, juntando todas as partes:
2pi cdot 2 cdot 12 = 2pi

Resposta

2pi

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