Beleza, vamos resolver essa integral tripla que envolve sobre todo o espaço . O conteúdo aqui envolve cálculo em coordenadas esféricas e integrais múltiplas. Para resolver, vamos precisar mudar as coordenadas cartesianas para esféricas, o que vai facilitar bastante a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que em coordenadas esféricas, qualquer ponto no espaço é descrito por três parâmetros: (a distância até a origem), (o ângulo com o eixo z) e (o ângulo no plano xy). A transformação para coordenadas esféricas é dada por:
E o elemento de volume em coordenadas esféricas é:
Passo 3
Agora, vamos reescrever a nossa integral original em coordenadas esféricas. A expressão vira simplesmente , e vira . Então, a integral fica:
Isso simplifica para:
Passo 4
Vamos agora separar a integral em partes que dependem de cada variável. Assim, temos:
Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente.
Passo 5
Primeiro, a integral em :
Essa parte é direta, já que a função é constante em relação a .
Passo 6
Agora, a integral em :
A antiderivada de é , então:
Passo 7
Finalmente, a integral em integral0^infty r^3 e^-r^2 , dr :
integral0^infty r^3 e^-u cdot 12 du = 12 integral0^infty u e^-u , du
Vamos fazer uma substituição: seja 12 cdot 1 = 12 , então ou . Substituindo: