(a) - (1,0): Encontre a derivada da função
g(x)=integralcos (raizx)^cos (raizpi) sen(e^pi t) d t

Passo 1

Beleza, então temos a função . O conteúdo que vamos usar aqui é cálculo diferencial, mais especificamente a regra de derivação para integrais com limites variáveis. Vamos precisar conhecer a Regra de Leibniz e um pouco de derivadas de funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a Regra de Leibniz, que nos ajuda a derivar uma função definida por uma integral onde os limites podem depender de G'(x) = f(b(x)) cdot b'(x) - f(a(x)) cdot a'(x) . A regra diz que se , então:

Passo 3

No nosso caso, , onde:
  • (que é uma constante, já que é uma constante)

Passo 4

Vamos identificar as partes:
  • Como é constante, sua derivada em relação a é zero:
  • Agora, precisamos derivar em relação a . Vamos usar a regra da cadeia aqui.

Passo 5

Derivando a'(x) = -sin(raizx) cdot 12raizx = -sin(raizx)2raizx :
  1. A derivada de é
  2. Aqui, , então
    Portanto:

Passo 6

Agora, aplicando a Regra de Leibniz na nossa função g'(x) = f(b(x)) cdot b'(x) - f(a(x)) cdot a'(x) :
g'(x) = -f(a(x)) cdot a'(x)
Como , a primeira parte desaparece:

Passo 7

Substituindo g'(x) = -sin(e^pi cdot cos(raizx)) cdot (-sin(raizx)2raizx) e g'(x) = sin(e^pi cdot cos(raizx)) cdot sin(raizx)2raizx :
Os sinais negativos se cancelam:

Resposta

A derivada da função g'(x) = sin(e^pi cos(raizx)) cdot sin(raizx)2raizx é:

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