(b) -(1,0): integral 1cos ^2(t) tg(t) d t

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a seguinte integral para resolver:
integral 1cos^2(t) cdot tan(t) , dt
Vamos usar conceitos de cálculo de integrais e algumas identidades trigonométricas para chegar na solução.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Sabemos que a tangente pode ser escrita como:
tan(t) = sin(t)cos(t)
Substituindo isso na integral, temos:
integral 1cos^2(t) cdot sin(t)cos(t) , dt = integral 1sin(t) cdot cos(t) , dt

Passo 3

Agora, para facilitar a integração, vamos lembrar de uma identidade trigonométrica importante:
sin(2t) = 2 sin(t) cos(t)
Rearranjando essa identidade para expressar sin(t) cos(t) = sin(2t)2 :
integral 1sin(2t)2 , dt = 2 integral 1sin(2t) , dt = 2 integral csc(2t) , dt
Substituindo de volta na integral:

Passo 4

Agora, precisamos integrar integral csc(u) , du = ln | tan(u2) | + C . A integral de 2 integral csc(2t) , dt = 2 cdot ( 12 ln | tan(t) | ) + C = ln | tan(t) | + C é uma fórmula conhecida:
Aplicando isso com :

Resposta

A integral resulta em:
- ln | tan(t) | + C

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