(b) Se
, qual a interpretação geométrica de uma soma de Riemann? Ilustre com um diagrama.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma função
que é sempre maior ou igual a zero, ou seja,
. A pergunta quer saber qual é a interpretação geométrica de uma soma de Riemann para essa função. Ou seja, a gente vai ver como essa soma se relaciona com a área sob a curva da função.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma soma de Riemann. Basicamente, é uma maneira de aproximar a área sob uma curva usando retângulos. A gente divide o intervalo em pequenas subintervalos, calcula a área de cada retângulo e soma todas elas.
Passo 3
Como a função
é sempre maior ou igual a zero, os retângulos vão ficar acima do eixo
. Isso facilita a visualização, porque estamos somando áreas positivas. Cada retângulo tem largura
e altura
, onde
é um ponto dentro do subintervalo.
Passo 4
Geometricamente, a soma de Riemann está aproximando a área total sob a curva
entre dois pontos, digamos
e
. Quanto mais retângulos a gente usar (ou seja, quanto menor for
), mais precisa ser�� essa aproximação.
Passo 5
Para ilustrar isso, imagine a curva de
no gráfico. A soma de Riemann coloca uma série de retângulos alinhados sob essa curva, cada um com altura
e largura
. A soma das áreas desses retângulos se aproxima da área real sob a curva.
Resposta
A interpretação geométrica de uma soma de Riemann, quando
, é a aproximação da área sob a curva de
usando retângulos. Cada retângulo representa uma pequena parte dessa área, e ao somar todos eles, a gente consegue estimar a área total entre os limites de integração.
Exercícios relacionados
Se a equação indicial (2.12) tem duas raizes complexas,
e
, use a fórmula de Eul para escrever a solução geral complexa em termos das scluçŏes reais, para
,
Mostre que estas soluções são soluçōes fundamentais de (2.11) e portanto
é a solução geral de (2.11), para
.
Considere a equação diferencial
d) Enconitre a solução do PVI
(a) Escreva uma expressão para uma soma de Riemann de uma função
. Explique o significado da notação que você usar.
© Se
assumir valores positivos e negativos, qual a interpretação geométrica de uma soma de Riemann? Ilustre com um diagrama.