(a) Escreva uma expressão para uma soma de Riemann de uma função . Explique o significado da notação que você usar.

Passo 1

Beleza, então a gente precisa escrever uma expressão para uma soma de Riemann de uma função . Vamos falar sobre o que é uma soma de Riemann e quais elementos vamos usar pra montar essa expressão. Basicamente, as somas de Riemann são usadas no cálculo para aproximar a área sob uma curva, que é a integral da função .

Passo 2

Primeiro, precisamos dividir o intervalo onde a função está definida em várias partes menores. Vamos chamar esse intervalo de e dividi-lo em subintervalos. Cada subintervalo vai ter uma largura chamada de , que é calculada por:
Isso significa que a largura de cada pedaço é igual ao tamanho total do intervalo dividido pelo número de subintervalos.

Passo 3

Agora, em cada um desses subintervalos, escolhemos um ponto específico, que a gente vai chamar de . Esse ponto pode ser qualquer lugar dentro do subintervalo, como o início, o meio ou o fim. A função é avaliada nesse ponto , ou seja, calculamos .

Passo 4

A soma de Riemann é então a soma de todas essas avaliações da função multiplicadas pela largura dos subintervalos. Isso fica assim:
Aqui, o símbolo significa que a gente está somando para cada subintervalo de até .

Resposta

A expressão para uma soma de Riemann da função é:
Nessa notação, é a largura de cada subintervalo, é um ponto escolhido dentro do -ésimo subintervalo, e é o número total de subintervalos. Essa soma aproxima a integral de no intervalo .

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(b) Se , qual a interpretação geométrica de uma soma de Riemann? Ilustre com um diagrama.
Se a equação indicial (2.12) tem duas raizes complexas, e , use a fórmula de Eul para escrever a solução geral complexa em termos das scluçŏes reais, para ,
Mostre que estas soluções são soluçōes fundamentais de (2.11) e portanto
é a solução geral de (2.11), para .
© Se assumir valores positivos e negativos, qual a interpretação geométrica de uma soma de Riemann? Ilustre com um diagrama.
(a) Escreva a definição de integral definida de uma função contínua de até .