(a) Escreva uma expressão para uma soma de Riemann de uma função
. Explique o significado da notação que você usar.
Passo 1
Beleza, então a gente precisa escrever uma expressão para uma soma de Riemann de uma função
. Vamos falar sobre o que é uma soma de Riemann e quais elementos vamos usar pra montar essa expressão. Basicamente, as somas de Riemann são usadas no cálculo para aproximar a área sob uma curva, que é a integral da função
.
Passo 2
Primeiro, precisamos dividir o intervalo onde a função
está definida em várias partes menores. Vamos chamar esse intervalo de
e dividi-lo em
subintervalos. Cada subintervalo vai ter uma largura chamada de
, que é calculada por:
Isso significa que a largura de cada pedaço é igual ao tamanho total do intervalo dividido pelo número de subintervalos.
Passo 3
Agora, em cada um desses subintervalos, escolhemos um ponto específico, que a gente vai chamar de
. Esse ponto pode ser qualquer lugar dentro do subintervalo, como o início, o meio ou o fim. A função
é avaliada nesse ponto
, ou seja, calculamos
.
Passo 4
A soma de Riemann é então a soma de todas essas avaliações da função multiplicadas pela largura dos subintervalos. Isso fica assim:
Aqui, o símbolo
significa que a gente está somando para cada subintervalo de
até
.
Resposta
A expressão para uma soma de Riemann da função
é:
Nessa notação,
é a largura de cada subintervalo,
é um ponto escolhido dentro do
-ésimo subintervalo, e
é o número total de subintervalos. Essa soma aproxima a integral de
no intervalo
.
Exercícios relacionados
(b) Se
, qual a interpretação geométrica de uma soma de Riemann? Ilustre com um diagrama.
Se a equação indicial (2.12) tem duas raizes complexas,
e
, use a fórmula de Eul para escrever a solução geral complexa em termos das scluçŏes reais, para
,
Mostre que estas soluções são soluçōes fundamentais de (2.11) e portanto
é a solução geral de (2.11), para
.
© Se
assumir valores positivos e negativos, qual a interpretação geométrica de uma soma de Riemann? Ilustre com um diagrama.
(a) Escreva a definição de integral definida de uma função contínua de
até
.