© Se assumir valores positivos e negativos, qual a interpretação geométrica de uma soma de Riemann? Ilustre com um diagrama.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. A questão fala sobre a soma de Riemann quando a função assume valores positivos e negativos. Isso está relacionado ao estudo de integrais na matemática, especificamente na interpretação geométrica da soma de Riemann. Para resolver, vamos precisar saber o que é uma soma de Riemann e como ela representa áreas sob o gráfico de uma função.

Passo 2

A soma de Riemann é uma maneira de aproximar a área sob o gráfico de uma função em um intervalo específico. Ela divide o intervalo em pequenos segmentos (chamados de subintervalos) e soma as áreas de retângulos cujo altura é dada pelo valor da função em cada subintervalo.

Passo 3

Quando a função é sempre positiva no intervalo, a soma de Riemann representa a área total acima do eixo e abaixo da curva . Porém, se assume valores negativos, isso significa que parte da função está abaixo do eixo .

Passo 4

Nesse caso, os retângulos que estão acima do eixo terão áreas positivas e os que estão abaixo terão áreas negativas. Ao somar todas essas áreas, a soma de Riemann representa a área líquida entre a curva e o eixo . Isso pode resultar em uma área total menor que a soma das áreas absolutas, já que as áreas positivas e negativas se cancelam parcialmente.

Passo 5

Visualizando isso com um diagrama, imagine o gráfico da função cruzando o eixo . Os retângulos acima do eixo contribuem positivamente para a soma de Riemann, enquanto os abaixo contribuem negativamente. A soma final dá a área líquida, que pode ser interpretada como a integral definida de no intervalo considerado.

Resposta

A soma de Riemann, quando a função assume valores positivos e negativos, representa a área líquida entre a curva e o eixo , levando em conta as áreas positivas e negativas. Isso significa que as áreas acima do eixo são somadas e as abaixo são subtraídas, resultando na integral da função no intervalo analisado.

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(a) Escreva uma expressão para uma soma de Riemann de uma função . Explique o significado da notação que você usar.
(b) Se , qual a interpretação geométrica de uma soma de Riemann? Ilustre com um diagrama.
(a) Escreva a definição de integral definida de uma função contínua de até .
(b) Qual a interpretação geométrica de se ?