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assumir valores positivos e negativos, qual a interpretação geométrica de uma soma de Riemann? Ilustre com um diagrama.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. A questão fala sobre a soma de Riemann quando a função
assume valores positivos e negativos. Isso está relacionado ao estudo de integrais na matemática, especificamente na interpretação geométrica da soma de Riemann. Para resolver, vamos precisar saber o que é uma soma de Riemann e como ela representa áreas sob o gráfico de uma função.
Passo 2
A soma de Riemann é uma maneira de aproximar a área sob o gráfico de uma função
em um intervalo específico. Ela divide o intervalo em pequenos segmentos (chamados de subintervalos) e soma as áreas de retângulos cujo altura é dada pelo valor da função em cada subintervalo.
Passo 3
Quando a função
é sempre positiva no intervalo, a soma de Riemann representa a área total acima do eixo
e abaixo da curva
. Porém, se
assume valores negativos, isso significa que parte da função está abaixo do eixo
.
Passo 4
Nesse caso, os retângulos que estão acima do eixo
terão áreas positivas e os que estão abaixo terão áreas negativas. Ao somar todas essas áreas, a soma de Riemann representa a área líquida entre a curva
e o eixo
. Isso pode resultar em uma área total menor que a soma das áreas absolutas, já que as áreas positivas e negativas se cancelam parcialmente.
Passo 5
Visualizando isso com um diagrama, imagine o gráfico da função
cruzando o eixo
. Os retângulos acima do eixo contribuem positivamente para a soma de Riemann, enquanto os abaixo contribuem negativamente. A soma final dá a área líquida, que pode ser interpretada como a integral definida de
no intervalo considerado.
Resposta
A soma de Riemann, quando a função
assume valores positivos e negativos, representa a área líquida entre a curva e o eixo
, levando em conta as áreas positivas e negativas. Isso significa que as áreas acima do eixo são somadas e as abaixo são subtraídas, resultando na integral da função no intervalo analisado.
Exercícios relacionados
(a) Escreva uma expressão para uma soma de Riemann de uma função
. Explique o significado da notação que você usar.
(b) Se
, qual a interpretação geométrica de uma soma de Riemann? Ilustre com um diagrama.
(a) Escreva a definição de integral definida de uma função contínua de
até
.
(b) Qual a interpretação geométrica de
se
?