Considere a equação diferencial
d) Enconitre a solução do PVI

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de equações diferenciais juntos! O enunciado nos apresenta uma equação diferencial de segunda ordem e pede para encontrar a solução que satisfaz certas condições iniciais. Para resolver isso, vamos usar técnicas de resolução de equações diferenciais lineares com coeficientes variáveis. Vamos precisar encontrar a solução geral da equação e depois aplicar as condições dadas para determinar as constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de forma mais simples. A equação dada é:
Para facilitar, vamos dividir todos os termos por , assim a equação fica na forma padrão de uma equação diferencial linear:

Passo 3

Agora, vamos tentar encontrar soluções da forma , onde é uma constante que precisamos determinar. Calculando as derivadas:
Substituindo essas expressões de volta na equação diferencial:
Podemos fatorar :
Para que essa equação seja verdadeira para todo , o que está dentro dos colchetes deve ser igual a zero:

Passo 4

Essa equação precisa ser válida para todos os valores de . Portanto, os coeficientes de cada potência de devem ser iguais a zero:
Resolvendo a primeira equação :
Agora, resolvendo a segunda equação usando a fórmula de Bhaskara:
Isso nos dá duas soluções:
Notamos que já foi encontrado anteriormente. Portanto, as soluções são e .

Passo 5

Com esses valores de , podemos escrever a solução geral da equação diferencial:
Onde e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.

Passo 6

Agora, aplicamos as condições iniciais fornecidas:
Primeiro, calculamos :
Depois, calculamos a derivada :
E aplicamos :

Passo 7

Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
Podemos resolver esse sistema multiplicando a segunda equação por 3 para simplificar:
Subtraindo a primeira equação da segunda:
Substituindo na primeira equação:

Resposta

A solução do problema de valores iniciais é
ou simplificando,

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Mostre que estas soluções são soluçōes fundamentais de (2.11) e portanto
é a solução geral de (2.11), para .
(b) Se , qual a interpretação geométrica de uma soma de Riemann? Ilustre com um diagrama.