Considere a equação diferencial
d) Enconitre a solução do PVI
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de equações diferenciais juntos! O enunciado nos apresenta uma equação diferencial de segunda ordem e pede para encontrar a solução que satisfaz certas condições iniciais. Para resolver isso, vamos usar técnicas de resolução de equações diferenciais lineares com coeficientes variáveis. Vamos precisar encontrar a solução geral da equação e depois aplicar as condições dadas para determinar as constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de forma mais simples. A equação dada é:
Para facilitar, vamos dividir todos os termos por
, assim a equação fica na forma padrão de uma equação diferencial linear:
Passo 3
Agora, vamos tentar encontrar soluções da forma
, onde
é uma constante que precisamos determinar. Calculando as derivadas:
Substituindo essas expressões de volta na equação diferencial:
Podemos fatorar
:
Para que essa equação seja verdadeira para todo
, o que está dentro dos colchetes deve ser igual a zero:
Passo 4
Essa equação precisa ser válida para todos os valores de
. Portanto, os coeficientes de cada potência de
devem ser iguais a zero:
Resolvendo a primeira equação
:
Agora, resolvendo a segunda equação
usando a fórmula de Bhaskara:
Isso nos dá duas soluções:
Notamos que
já foi encontrado anteriormente. Portanto, as soluções são
e
.
Passo 5
Com esses valores de
, podemos escrever a solução geral da equação diferencial:
Onde
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.
Passo 6
Agora, aplicamos as condições iniciais fornecidas:
Primeiro, calculamos
:
Depois, calculamos a derivada
:
E aplicamos
:
Passo 7
Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
Podemos resolver esse sistema multiplicando a segunda equação por 3 para simplificar:
Subtraindo a primeira equação da segunda:
Substituindo
na primeira equação:
Resposta
A solução do problema de valores iniciais é
ou simplificando,