Se a equação indicial (2.12) tem duas raizes complexas, e , use a fórmula de Eul para escrever a solução geral complexa em termos das scluçŏes reais, para ,
Mostre que estas soluções são soluçōes fundamentais de (2.11) e portanto
é a solução geral de (2.11), para .

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o enunciado do exercício. Temos uma equação indicial (2.12) com duas raízes complexas, e . O objetivo é usar a fórmula de Euler para escrever a solução geral complexa em termos das soluções reais e , para . Em seguida, devemos mostrar que essas soluções são soluções fundamentais da equação (2.11) e, portanto, expressar a solução geral de (2.11) como uma combinação linear dessas soluções.
Para resolver isso, vamos precisar dos conceitos de equações diferenciais lineares de segunda ordem, soluções fundamentais, e a fórmula de Euler para expressar soluções complexas em termos de funções reais.

Passo 2

Começamos aplicando a fórmula de Euler, que nos permite escrever exponenciais complexas em termos de seno e cosseno. Sabemos que,
Assim, podemos construir as soluções reais a partir das soluções complexas e .

Passo 3

Considerando as soluções complexas para a equação diferencial, que são da forma , onde é uma raiz da equação indicial, temos:

Passo 4

Como estamos trabalhando com soluções reais, tomamos combinações lineares dessas soluções complexas para obter duas soluções reais e independentes:

Passo 5

Agora, mostramos que e são soluções fundamentais da equação (2.11). Isso significa que elas são soluções da equação diferencial e são linearmente independentes.

Passo 6

Como e são soluções fundamentais, a solução geral da equação (2.11) pode ser expressa como uma combinação linear delas:

Resposta

A solução geral da equação (2.11) para é:

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