Se a equação indicial (2.12) tem duas raizes complexas,
e
, use a fórmula de Eul para escrever a solução geral complexa em termos das scluçŏes reais, para
,
Mostre que estas soluções são soluçōes fundamentais de (2.11) e portanto
é a solução geral de (2.11), para
.
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o enunciado do exercício. Temos uma equação indicial (2.12) com duas raízes complexas,
e
. O objetivo é usar a fórmula de Euler para escrever a solução geral complexa em termos das soluções reais
e
, para
. Em seguida, devemos mostrar que essas soluções são soluções fundamentais da equação (2.11) e, portanto, expressar a solução geral de (2.11) como uma combinação linear dessas soluções.
Para resolver isso, vamos precisar dos conceitos de equações diferenciais lineares de segunda ordem, soluções fundamentais, e a fórmula de Euler para expressar soluções complexas em termos de funções reais.
Passo 2
Começamos aplicando a fórmula de Euler, que nos permite escrever exponenciais complexas em termos de seno e cosseno. Sabemos que,
Assim, podemos construir as soluções reais a partir das soluções complexas
e
.
Passo 3
Considerando as soluções complexas para a equação diferencial, que são da forma
, onde
é uma raiz da equação indicial, temos:
Passo 4
Como estamos trabalhando com soluções reais, tomamos combinações lineares dessas soluções complexas para obter duas soluções reais e independentes:
Passo 5
Agora, mostramos que
e
são soluções fundamentais da equação (2.11). Isso significa que elas são soluções da equação diferencial e são linearmente independentes.
Passo 6
Como
e
são soluções fundamentais, a solução geral da equação (2.11) pode ser expressa como uma combinação linear delas:
Resposta
A solução geral da equação (2.11) para
é:
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, qual a interpretação geométrica de uma soma de Riemann? Ilustre com um diagrama.
(a) Escreva uma expressão para uma soma de Riemann de uma função
. Explique o significado da notação que você usar.