(b) Se
, prove que 0 é o único número crítico de
e que
é um mínimo local de
. © Se
, mostre que 0 é o único número crítico de
e que
é um mínimo local de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver as partes (b) e © do exercício. O que a gente precisa fazer é provar que, para as funções dadas, o número 0 é o único número crítico e que
é um mínimo local. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas, que nos ajudam a encontrar esses pontos críticos e analisar o comportamento da função perto deles.
Passo 2
Vamos começar com a parte (b) onde a função é
.
Primeiro, precisamos encontrar a derivada de
, que nos ajuda a identificar os pontos críticos. A derivada de
é dada por:
Passo 3
Agora, vamos identificar onde a derivada é zero ou não existe, pois esses são os pontos críticos.
-
Derivada igual a zero:Isso nunca acontece porque
nunca será zero. -
Derivada não existe:A derivada não existe quando
, ou seja, quando .
Então, o único número crítico é 0.
Passo 4
Agora, vamos verificar se
é um mínimo local. Olhando para a função
:
- Para
próximo de 0, queremos ver se .
Como
e
é sempre não negativo (já que está elevado ao quadrado), temos que
para todos os
próximos de 0.
Portanto,
é um mínimo local.
Passo 5
Agora, vamos para a parte © onde a função é
.
Primeiro, encontramos a derivada de
:
Passo 6
Identificamos os pontos críticos verificando onde a derivada é zero ou não existe.
-
Derivada igual a zero:A derivada nunca é zero porque
é sempre 1 ou -1 quando existe. -
Derivada não existe:A derivada não existe em
.
Portanto, o único número crítico é 0.
Passo 7
Vamos verificar se
é um mínimo local. Observando a função
:
- Para
próximo de 0, .
Assim,
é um mínimo local.
Resposta
Em ambas as funções
e
, o único número crítico é 0 e
é um mínimo local de
.