(b) Se
, prove que 0 é o único número crítico de
e que
é um mínimo local de
. © Se
, mostre que 0 é o único número crítico de
e que
é um mínimo local de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver as partes (b) e © do exercício. O que a gente precisa fazer é provar que, para as funções dadas, o número 0 é o único número crítico e que
é um mínimo local. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas, que nos ajudam a encontrar esses pontos críticos e analisar o comportamento da função perto deles.
Passo 2
Vamos começar com a parte (b) onde a função é
.
Primeiro, precisamos encontrar a derivada de
, que nos ajuda a identificar os pontos críticos. A derivada de
é dada por:
Passo 3
Agora, vamos identificar onde a derivada é zero ou não existe, pois esses são os pontos críticos.
-
Derivada igual a zero:Isso nunca acontece porque
nunca será zero. -
Derivada não existe:A derivada não existe quando
, ou seja, quando .
Então, o único número crítico é 0.
Passo 4
Agora, vamos verificar se
é um mínimo local. Olhando para a função
:
- Para
próximo de 0, queremos ver se .
Como
e
é sempre não negativo (já que está elevado ao quadrado), temos que
para todos os
próximos de 0.
Portanto,
é um mínimo local.
Passo 5
Agora, vamos para a parte © onde a função é
.
Primeiro, encontramos a derivada de
:
Passo 6
Identificamos os pontos críticos verificando onde a derivada é zero ou não existe.
-
Derivada igual a zero:A derivada nunca é zero porque
é sempre 1 ou -1 quando existe. -
Derivada não existe:A derivada não existe em
.
Portanto, o único número crítico é 0.
Passo 7
Vamos verificar se
é um mínimo local. Observando a função
:
- Para
próximo de 0, .
Assim,
é um mínimo local.
Resposta
Em ambas as funções
e
, o único número crítico é 0 e
é um mínimo local de
.
Exercícios relacionados
Coeficientes Descontínuos
a) Resolver o P. V.I:y' + 2y = g(x), y(0) = 0 , onde
a) Resolver o P. V.I:
Nos problemas abaixo, achar a solução do problema de valor inicial proposto. Enunciar o intervalo no qual a soluçào encontrada é válida.
(1-x^2) y' - x y = x(1-x^2), y(0) = 2 .
(a)
xy + 16 = 0, P(-2, 8)
(b)y^2 - 4 x^2 = 5, P(-1, 3)
©2 x^3 - x^2 y + y^3 - 1 = 0, P(2, -3)
(d)3y^4 + 4x - x^2 sen(y) - 4 = 0, P(1,0)
(e)x^2 y + sen(y) = 2 pi, P(1, 2 pi)
(f)x y^2 + 3 y = 27, P(2,3)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(Equaçōes de Bernuolli) São as equações do tipo
y' + p(x) y = q(x) y'' . Vimos que a substiuição
v = y^(1-n) reduz a equaçâo de Bernoulli a uma equação linear. Resolva as equaçōes de Bernoulli abaixo:
c)y' = a*y - b*y^3, a > 0, b > 0 .
c)