(b) Se f(x) = x^(2/3), prove que 0 é o único número crítico de f e que f(0) é um mínimo local de f. © Se f(x) = |x|, mostre que 0 é o único número crítico de f e que f(0) é um mínimo local de f.

Passo 1

Beleza, vamos resolver as partes (b) e © do exercício. O que a gente precisa fazer é provar que, para as funções dadas, o número 0 é o único número crítico e que é um mínimo local. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas, que nos ajudam a encontrar esses pontos críticos e analisar o comportamento da função perto deles.

Passo 2

Vamos começar com a parte (b) onde a função é .
Primeiro, precisamos encontrar a derivada de , que nos ajuda a identificar os pontos críticos. A derivada de é dada por:

Passo 3

Agora, vamos identificar onde a derivada é zero ou não existe, pois esses são os pontos críticos.
  • Derivada igual a zero:
    Isso nunca acontece porque nunca será zero.
  • Derivada não existe:
    A derivada não existe quando , ou seja, quando .
Então, o único número crítico é 0.

Passo 4

Agora, vamos verificar se é um mínimo local. Olhando para a função :
  • Para próximo de 0, queremos ver se .
Como e é sempre não negativo (já que está elevado ao quadrado), temos que para todos os próximos de 0.
Portanto, é um mínimo local.

Passo 5

Agora, vamos para a parte © onde a função é .
Primeiro, encontramos a derivada de :
ã

Passo 6

Identificamos os pontos críticos verificando onde a derivada é zero ou não existe.
  • Derivada igual a zero:
    A derivada nunca é zero porque é sempre 1 ou -1 quando existe.
  • Derivada não existe:
    A derivada não existe em .
Portanto, o único número crítico é 0.

Passo 7

Vamos verificar se é um mínimo local. Observando a função :
  • Para próximo de 0, .
Assim, é um mínimo local.

Resposta

Em ambas as funções e , o único número crítico é 0 e é um mínimo local de .

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