Coeficientes Descontínuos
a) Resolver o P. V.I:
, onde
a) Resolver o P. V.I:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial passo a passo! A gente tem a equação
com a condição inicial
. Aqui,
é uma função que vale 1 quando
e 0 quando
. Vamos usar o método do fator integrante, que é uma técnica para resolver equações diferenciais lineares de primeira ordem como essa.
Passo 2
Primeiro, identificamos a equação na forma padrão:
. No nosso caso,
e
. O próximo passo no método do fator integrante é encontrar esse fator, que é dado por
. Então, calculamos:
Passo 3
Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto
. Isso simplifica a resolução:
Passo 4
Vamos integrar ambos os lados da equação em relação a
:
Isso nos dá:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Agora, precisamos considerar os diferentes valores de
. Vamos dividir em dois casos:
- Para
, :
Usando a condição inicial
:
Então, a solução para
é:
- Para
, :
A equação fica:
Essa é uma equação homogênea. Usando o fator integrante novamente:
Precisamos encontrar
para garantir que a solução seja contínua em
.
Passo 6
Vamos achar o valor de
em
usando a primeira solução:
Esse valor será a condição inicial para a segunda parte da solução (quando
):
Resposta
A solução completa da equação diferencial é: