Coeficientes Descontínuos
a) Resolver o P. V.I: y' + 2y = g(x), y(0) = 0, onde
g(x) = { 1, se 0 <= x <= 1; 0, se x > 1 }

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial passo a passo! A gente tem a equação com a condição inicial . Aqui, é uma função que vale 1 quando e 0 quando . Vamos usar o método do fator integrante, que é uma técnica para resolver equações diferenciais lineares de primeira ordem como essa.

Passo 2

Primeiro, identificamos a equação na forma padrão: . No nosso caso, e . O próximo passo no método do fator integrante é encontrar esse fator, que é dado por . Então, calculamos:

Passo 3

Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto . Isso simplifica a resolução:

Passo 4

Vamos integrar ambos os lados da equação em relação a :
Isso nos dá:
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Agora, precisamos considerar os diferentes valores de . Vamos dividir em dois casos:
  1. Para , :
Usando a condição inicial :
Então, a solução para é:
  1. Para , :
A equação fica:
Essa é uma equação homogênea. Usando o fator integrante novamente:
Precisamos encontrar para garantir que a solução seja contínua em .

Passo 6

Vamos achar o valor de em usando a primeira solução:
Esse valor será a condição inicial para a segunda parte da solução (quando ):

Resposta

A solução completa da equação diferencial é:

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