Nos problemas abaixo, achar a solução do problema de valor inicial proposto. Enunciar o intervalo no qual a soluçào encontrada é válida.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial juntos! O enunciado nos dá uma equação diferencial de valor inicial:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem, linear. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem:
Para isso, dividimos todos os termos por
:
Assim, identificamos:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o fator integrante
, que é dado por:
Vamos calcular essa integral:
Para resolver isso, fazemos uma substituição simples. Seja
, então
, ou seja,
.
Substituindo na integral:
Portanto, o fator integrante é:
Passo 4
Com o fator integrante
, multiplicamos toda a equação diferencial por ele:
A equação fica:
Isso ocorre porque o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto do fator integrante com
.
Passo 5
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação para encontrar
:
A integral do lado esquerdo simplifica para:
Vamos resolver a integral do lado direito usando substituição. Seja
, então
, ou seja,
. Substituindo:
Passo 6
Agora, substituímos de volta na equação:
Para isolar
, dividimos ambos os lados por
:
Passo 7
Aplicamos a condição inicial
para encontrar a constante
. Substituindo
e
:
Passo 8
Finalmente, substituímos
na expressão para
:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
Esta solução é válida no intervalo
.
Exercícios relacionados
(b) Se
é contínua em
e se
para todo
, prove que
, para algum
.
© Uma estrada retilínea de 50 km liga duas cidades e
. Prove que é impossível viajar de
a
de automóvel, em exatamente uma hora, sem que o velocímetro registre 50
ao menos uma vez.
(d) Se denota o peso (em quilos) de um indivíduo e
denota o tempo (em meses), então
é a taxa de ganho ou perda de peso (em kg/mês). O recorde de perda de peso é uma redução de 220 kg para 60 kg durante um período de 8 meses. Mostre que a taxa de redução de peso excedeu 20 kg em algum tempo durante o período de oito meses.
(e) Prove que se e
são números reais arbitrários, então
© Uma estrada retilínea de 50 km liga duas cidades
(d) Se
(e) Prove que se
(f) Prove que
, para
0 .
(g) A velocidade fixada para uma estrada dos EUA, de 125 milhas de extensão sujeita a pedágio, é de 65 . Quando um automóvel chega ao guichê de pedágio, o motorista recebe um tíquete em que está impressa a hora exata. Se o motorista completa o percurso em 1 hora e 40 minutos ou menos, ele é notificado ao pagar o pedágio. Explique por que essa notificação se justifica.
(g) A velocidade fixada para uma estrada dos EUA, de 125 milhas de extensão sujeita a pedágio, é de 65
(b) Use o item (a) para mostrar que
se
.
Coeficientes Descontínuos
a) Resolver o P. V.I: , onde
a) Resolver o P. V.I:
(b) Se
, prove que 0 é o único número crítico de
e que
é um mínimo local de
. © Se
, mostre que 0 é o único número crítico de
e que
é um mínimo local de
.