Nos problemas abaixo, achar a solução do problema de valor inicial proposto. Enunciar o intervalo no qual a soluçào encontrada é válida.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial juntos! O enunciado nos dá uma equação diferencial de valor inicial:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem, linear. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem:
Para isso, dividimos todos os termos por
:
Assim, identificamos:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o fator integrante
, que é dado por:
Vamos calcular essa integral:
Para resolver isso, fazemos uma substituição simples. Seja
, então
, ou seja,
.
Substituindo na integral:
Portanto, o fator integrante é:
Passo 4
Com o fator integrante
, multiplicamos toda a equação diferencial por ele:
A equação fica:
Isso ocorre porque o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto do fator integrante com
.
Passo 5
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação para encontrar
:
A integral do lado esquerdo simplifica para:
Vamos resolver a integral do lado direito usando substituição. Seja
, então
, ou seja,
. Substituindo:
Passo 6
Agora, substituímos de volta na equação:
Para isolar
, dividimos ambos os lados por
:
Passo 7
Aplicamos a condição inicial
para encontrar a constante
. Substituindo
e
:
Passo 8
Finalmente, substituímos
na expressão para
:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
Esta solução é válida no intervalo
.