Nos problemas abaixo, achar a solução do problema de valor inicial proposto. Enunciar o intervalo no qual a soluçào encontrada é válida. (1-x^2) y' - x y = x(1-x^2), y(0) = 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial juntos! O enunciado nos dá uma equação diferencial de valor inicial:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem, linear. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem:
Para isso, dividimos todos os termos por :
Assim, identificamos:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante , que é dado por:
Vamos calcular essa integral:
Para resolver isso, fazemos uma substituição simples. Seja , então , ou seja, .
Substituindo na integral:
Portanto, o fator integrante é:

Passo 4

Com o fator integrante , multiplicamos toda a equação diferencial por ele:
A equação fica:
Isso ocorre porque o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto do fator integrante com .

Passo 5

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação para encontrar :
A integral do lado esquerdo simplifica para:
Vamos resolver a integral do lado direito usando substituição. Seja , então , ou seja, . Substituindo:

Passo 6

Agora, substituímos de volta na equação:
Para isolar , dividimos ambos os lados por :

Passo 7

Aplicamos a condição inicial para encontrar a constante . Substituindo e :

Passo 8

Finalmente, substituímos na expressão para :

Resposta

A solução da equação diferencial é:
Esta solução é válida no intervalo .

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