(Equaçōes de Bernuolli) São as equações do tipo
. Vimos que a substiuição
reduz a equaçâo de Bernoulli a uma equação linear. Resolva as equaçōes de Bernoulli abaixo:
c)
.
c)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação de Bernoulli que é do tipo
, onde
e
. A matéria que estamos usando aqui é Equações Diferenciais, especificamente as Equações de Bernoulli. Para resolver, vamos precisar fazer uma substituição que transforma essa equação não linear em uma equação linear mais fácil de resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os componentes da nossa equação de Bernoulli. A equação geral de Bernoulli é:
No nosso caso, comparando com
, temos:
A ideia é usar a substituição
. Então, para
, temos:
Passo 3
Agora, vamos derivar
em relação a
:
Podemos rearranjar para expressar
:
Substituindo
na equação original:
Dividindo ambos os lados por
:
Lembrando que
, substituímos:
Passo 4
Vamos reorganizar a equação para deixá-la na forma padrão de uma equação linear:
Aqui, temos uma equação linear de primeira ordem onde:
Para resolver, precisamos encontrar um fator integrante, que é dado por:
Passo 5
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
A equação à esquerda agora é a derivada do produto
:
Integrando ambos os lados em relação a
:
Calculando a integral:
Passo 6
Agora, resolvemos para
:
Lembrando que
, substituímos de volta:
Invertendo para achar
:
Resposta
A solução geral da equação
é:
onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(b) Se
, prove que 0 é o único número crítico de
e que
é um mínimo local de
. © Se
, mostre que 0 é o único número crítico de
e que
é um mínimo local de
.
Nos problemas abaixo, achar a solução do problema de valor inicial proposto. Enunciar o intervalo no qual a soluçào encontrada é válida.
Usando a regra da cadeia, calcule as derivadas a seguir.
(a)
(a)