(Equaçōes de Bernuolli) São as equações do tipo y' + p(x) y = q(x) y''. Vimos que a substiuição v = y^(1-n) reduz a equaçâo de Bernoulli a uma equação linear. Resolva as equaçōes de Bernoulli abaixo:
c) y' = a*y - b*y^3, a > 0, b > 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação de Bernoulli que é do tipo , onde e . A matéria que estamos usando aqui é Equações Diferenciais, especificamente as Equações de Bernoulli. Para resolver, vamos precisar fazer uma substituição que transforma essa equação não linear em uma equação linear mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os componentes da nossa equação de Bernoulli. A equação geral de Bernoulli é:
No nosso caso, comparando com , temos:
A ideia é usar a substituição . Então, para , temos:

Passo 3

Agora, vamos derivar em relação a :
Podemos rearranjar para expressar :
Substituindo na equação original:
Dividindo ambos os lados por :
Lembrando que , substituímos:

Passo 4

Vamos reorganizar a equação para deixá-la na forma padrão de uma equação linear:
Aqui, temos uma equação linear de primeira ordem onde:
Para resolver, precisamos encontrar um fator integrante, que é dado por:

Passo 5

Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
A equação à esquerda agora é a derivada do produto :
Integrando ambos os lados em relação a :
Calculando a integral:

Passo 6

Agora, resolvemos para :
Lembrando que , substituímos de volta:
Invertendo para achar :

Resposta

A solução geral da equação é:
onde é a constante de integração.

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