Utilizando os axiomas de ordem, mostre que forall a, b, c, d in R
b) (a < b e c < 0) implica a * c > b * c

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que, para quaisquer números reais , se e , então . Vamos usar os axiomas de ordem para provar isso. Os axiomas de ordem nos ajudam a entender como os números se comportam quando os comparamos e multiplicamos.

Passo 2

Sabemos que . Isso significa que é maior que na linha dos números reais. Agora, queremos multiplicar ambos os lados dessa desigualdade por , que é um número negativo ( ).

Passo 3

Um conceito importante na multiplicação de desigualdades é que, quando multiplicamos ambos os lados de uma desigualdade por um número negativo, o sinal da desigualdade se inverte. Isso é um dos axiomas de ordem.

Passo 4

Aplicando esse conceito, multiplicamos por (que é negativo):
Mas como , o sinal da desigualdade se inverte:

Resposta

Portanto, mostramos que se e , então .

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