b) f(x) = sinh^(-1)(x) = ln(x + raiz(1 + x^2)). Estime o valor de sinh^(-1)(0 * 1). Sugestão: Derive f(x).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para estimar o valor de usando a função . Vamos resolver isso passo a passo, usando derivadas para fazer essa estimativa.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é . A função é chamada de arco seno hiperbólico e é definida como . Isso significa que para calcular , estamos basicamente procurando o valor de .

Passo 3

Como a questão sugere, vamos derivar a função f(x). A derivada de f(x) nos ajuda a aproximar o valor de f(x) perto de um ponto conhecido. Vamos calcular .

Passo 4

Para derivar , usamos a regra da cadeia. A derivada de é , onde .
Então:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão da derivada:
Multiplicando o numerador e o denominador por , temos:
Simplificando ainda mais:

Passo 6

Agora que temos a derivada , podemos usar uma aproximação linear para estimar . Vamos usar o ponto x = 0, onde sabemos que .
A aproximação linear é dada por:

Passo 7

Calculando :
Então:

Resposta

A estimativa de é aproximadamente .

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