b)
. Estime o valor de
. Sugestão: Derive
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para estimar o valor de
usando a função
. Vamos resolver isso passo a passo, usando derivadas para fazer essa estimativa.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é
. A função
é chamada de arco seno hiperbólico e é definida como
. Isso significa que para calcular
, estamos basicamente procurando o valor de
.
Passo 3
Como a questão sugere, vamos derivar a função
. A derivada de
nos ajuda a aproximar o valor de
perto de um ponto conhecido. Vamos calcular
.
Passo 4
Para derivar
, usamos a regra da cadeia. A derivada de
é
, onde
.
Então:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão da derivada:
Multiplicando o numerador e o denominador por
, temos:
Simplificando ainda mais:
Passo 6
Agora que temos a derivada
, podemos usar uma aproximação linear para estimar
. Vamos usar o ponto
, onde sabemos que
.
A aproximação linear é dada por:
Passo 7
Calculando
:
Então:
Resposta
A estimativa de
é aproximadamente
.
Exercícios relacionados
Em cada caso calcule, por integral dupla, a área da região
do plano
delimitada pelas curvas indicadas.
e
.
Use série de potências para calcular as seguintes integrais. Verifique se as séries resultantes satisfazem o Critério de Leibniz e então estime o valor das integrais com erro inferior à
.
c)
c)
f)
onde
e
.
k)
onde
e
.