b) . Estime o valor de . Sugestão: Derive .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para estimar o valor de usando a função . Vamos resolver isso passo a passo, usando derivadas para fazer essa estimativa.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é . A função é chamada de arco seno hiperbólico e é definida como . Isso significa que para calcular , estamos basicamente procurando o valor de .

Passo 3

Como a questão sugere, vamos derivar a função . A derivada de nos ajuda a aproximar o valor de perto de um ponto conhecido. Vamos calcular .

Passo 4

Para derivar , usamos a regra da cadeia. A derivada de é , onde .
Então:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão da derivada:
Multiplicando o numerador e o denominador por , temos:
Simplificando ainda mais:

Passo 6

Agora que temos a derivada , podemos usar uma aproximação linear para estimar . Vamos usar o ponto , onde sabemos que .
A aproximação linear é dada por:

Passo 7

Calculando :
Então:

Resposta

A estimativa de é aproximadamente .

Exercícios relacionados

Em cada caso calcule, por integral dupla, a área da região do plano delimitada pelas curvas indicadas.
e .
Use série de potências para calcular as seguintes integrais. Verifique se as séries resultantes satisfazem o Critério de Leibniz e então estime o valor das integrais com erro inferior à .
c)
f) onde e .
k) onde e .