f)
onde
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
com as condições iniciais
e
. Esse tipo de problema está relacionado ao estudo de equações diferenciais lineares de segunda ordem. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação e depois ajustar com as condições iniciais para achar a solução específica.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é
. Isso significa que ignoramos o termo
temporariamente e resolvemos
.
Passo 3
Para resolver
, encontramos a equação característica. Assumimos uma solução do tipo
, então substituímos na equação:
Como
nunca é zero, temos
, ou seja,
.
Passo 4
Com as raízes
, a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes que vamos determinar mais tarde.
Passo 5
Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa
. Como o lado direito é um polinômio de primeiro grau (
), vamos supor uma solução do tipo
, onde
e
são constantes a serem encontradas.
Passo 6
Calculamos as derivadas de
:
Substituindo na equação original:
Isso nos dá:
Comparando os termos, temos:
Portanto, a solução particular é
.
Passo 7
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a particular:
Passo 8
Agora, aplicamos as condições iniciais para determinar
e
.
Primeira condição:
Segunda condição:
Primeiro, encontramos a derivada geral:
Aplicando
:
Resposta
Com
e
, a soluç��o da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
b)
. Estime o valor de
. Sugestão: Derive
.
Em cada caso calcule, por integral dupla, a área da região
do plano
delimitada pelas curvas indicadas.
e
.
k)
onde
e
.
Use série de potências para calcular as seguintes integrais. Verifique se as séries resultantes satisfazem o Critério de Leibniz e então estime o valor das integrais com erro inferior à
.
b)
b)