f) onde e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: com as condições iniciais e . Esse tipo de problema está relacionado ao estudo de equações diferenciais lineares de segunda ordem. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação e depois ajustar com as condições iniciais para achar a solução específica.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é . Isso significa que ignoramos o termo temporariamente e resolvemos .

Passo 3

Para resolver , encontramos a equação característica. Assumimos uma solução do tipo , então substituímos na equação:
Como nunca é zero, temos , ou seja, .

Passo 4

Com as raízes , a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes que vamos determinar mais tarde.

Passo 5

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Como o lado direito é um polinômio de primeiro grau ( ), vamos supor uma solução do tipo , onde e são constantes a serem encontradas.

Passo 6

Calculamos as derivadas de :
Substituindo na equação original:
Isso nos dá:
Comparando os termos, temos:
Portanto, a solução particular é .

Passo 7

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a particular:

Passo 8

Agora, aplicamos as condições iniciais para determinar e .
Primeira condição:
Segunda condição:
Primeiro, encontramos a derivada geral:
Aplicando :

Resposta

Com e , a soluç��o da equação diferencial é:

Exercícios relacionados

b) . Estime o valor de . Sugestão: Derive .
Em cada caso calcule, por integral dupla, a área da região do plano delimitada pelas curvas indicadas.
e .
k) onde e .
Use série de potências para calcular as seguintes integrais. Verifique se as séries resultantes satisfazem o Critério de Leibniz e então estime o valor das integrais com erro inferior à .
b)