Em cada caso calcule, por integral dupla, a área da região
do plano
delimitada pelas curvas indicadas.
e
.
Passo 1
Vamos resumir o problema: precisamos calcular, usando uma integral dupla, a área da região
no plano
que está delimitada pelas curvas
e
. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas para encontrar áreas de áreas delimitadas por curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como essas duas curvas se comportam e onde elas se cruzam. Isso nos ajudará a determinar os limites de integração para a nossa integral dupla.
Passo 3
Vamos encontrar os pontos de interseção resolvendo o sistema de equações formado por
e
. Substituindo
da primeira equação na segunda, temos:
Passo 4
Simplificando a equação:
Passo 5
Agora, resolvemos a equação quadrática
. Usando a fórmula de Bhaskara:
Portanto, os valores de
são
e
.
Passo 6
Com os valores de
, encontramos os correspondentes valores de
:
- Para
:
- Para
:
Assim, os pontos de interseção são
e
.
Passo 7
Agora, vamos determinar os limites de integração. Podemos integrar em relação a
de
a
, e para cada
,
varia de
até
.
Passo 8
A área
da região
é dada pela integral dupla:
Passo 9
Vamos calcular a integral interna em relação a
:
Passo 10
Agora, integramos essa expressão em relação a
:
Passo 11
Calculando a integral:
Passo 12
Avalie a integral de
a
:
- Para
:
- Para
:
Subtraindo os valores:
Resposta
A área da região
é
unidades quadradas.
Exercícios relacionados
Use série de potências para calcular as seguintes integrais. Verifique se as séries resultantes satisfazem o Critério de Leibniz e então estime o valor das integrais com erro inferior à
.
c)
c)
b)
. Estime o valor de
. Sugestão: Derive
.
f)
onde
e
.