Em cada caso calcule, por integral dupla, a área da região do plano delimitada pelas curvas indicadas.
e .

Passo 1

Vamos resumir o problema: precisamos calcular, usando uma integral dupla, a área da região no plano que está delimitada pelas curvas e . Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas para encontrar áreas de áreas delimitadas por curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como essas duas curvas se comportam e onde elas se cruzam. Isso nos ajudará a determinar os limites de integração para a nossa integral dupla.

Passo 3

Vamos encontrar os pontos de interseção resolvendo o sistema de equações formado por e . Substituindo da primeira equação na segunda, temos:

Passo 4

Simplificando a equação:

Passo 5

Agora, resolvemos a equação quadrática . Usando a fórmula de Bhaskara:
Portanto, os valores de são e .

Passo 6

Com os valores de , encontramos os correspondentes valores de :
  • Para :
  • Para :
Assim, os pontos de interseção são e .

Passo 7

Agora, vamos determinar os limites de integração. Podemos integrar em relação a de a , e para cada , varia de até .

Passo 8

A área da região é dada pela integral dupla:

Passo 9

Vamos calcular a integral interna em relação a :

Passo 10

Agora, integramos essa expressão em relação a :

Passo 11

Calculando a integral:

Passo 12

Avalie a integral de a :
  • Para :
  • Para :
Subtraindo os valores:

Resposta

A área da região é unidades quadradas.

Exercícios relacionados

Use série de potências para calcular as seguintes integrais. Verifique se as séries resultantes satisfazem o Critério de Leibniz e então estime o valor das integrais com erro inferior à .
c)
na região compreendida entre as curvas e .
b) . Estime o valor de . Sugestão: Derive .
f) onde e .