k) onde e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial com as condições iniciais e . O conteúdo que vamos usar aqui é Equações Diferenciais Ordinárias de Segunda Ordem, e vamos precisar aplicar séries de potências para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para simplificar:
Isso ajuda a deixar a equação em uma forma mais manejável.

Passo 3

Agora, vamos supor que a solução pode ser escrita como uma série de potências em torno de :
Onde são os coeficientes que precisamos encontrar.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de :

Passo 5

Substituímos , e na equação diferencial:

Passo 6

Vamos ajustar os índices das somas para que todas tenham :
Para a segunda soma, mudamos a variável para que todas as potências sejam :

Passo 7

Agora, combinamos todas as somas:
Simplificando os termos dentro da soma:

Passo 8

Isso nos dá uma relação de recorrência para os coeficientes :

Passo 9

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar os primeiros coeficientes:
  • Para :
  • Para :

Passo 10

Usando a relação de recorrência, vamos encontrar alguns coeficientes:
  • Para :
  • Para :
E assim por diante. Observamos que os coeficientes de ordem ímpar são zero ( ).

Passo 11

Assim, a solução pode ser escrita como:

Resposta

A solução da equação diferencial é dada pela série de potências:

Exercícios relacionados

f) onde e .
b) . Estime o valor de . Sugestão: Derive .
Use série de potências para calcular as seguintes integrais. Verifique se as séries resultantes satisfazem o Critério de Leibniz e então estime o valor das integrais com erro inferior à .
b)
Calcule o volume do sólido , no primeiro octante, limitado pelo cilindro parabólico e pelos planos e .