k) 2 y'' + x y' + y = 0 onde y(0) = 1 e y'(0) = 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial com as condições iniciais e . O conteúdo que vamos usar aqui é Equações Diferenciais Ordinárias de Segunda Ordem, e vamos precisar aplicar séries de potências para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para simplificar:
Isso ajuda a deixar a equação em uma forma mais manejável.

Passo 3

Agora, vamos supor que a solução pode ser escrita como uma série de potências em torno de :
Onde são os coeficientes que precisamos encontrar.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de :

Passo 5

Substituímos , e na equação diferencial:

Passo 6

Vamos ajustar os índices das somas para que todas tenham :
Para a segunda soma, mudamos a variável para que todas as potências sejam :

Passo 7

Agora, combinamos todas as somas:
Simplificando os termos dentro da soma:

Passo 8

Isso nos dá uma relação de recorrência para os coeficientes :

Passo 9

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar os primeiros coeficientes:
  • Para :
  • Para :

Passo 10

Usando a relação de recorrência, vamos encontrar alguns coeficientes:
  • Para :
  • Para :
E assim por diante. Observamos que os coeficientes de ordem ímpar são zero ( ).

Passo 11

Assim, a solução pode ser escrita como:

Resposta

A solução da equação diferencial é dada pela série de potências:

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