k)
onde
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
com as condições iniciais
e
. O conteúdo que vamos usar aqui é Equações Diferenciais Ordinárias de Segunda Ordem, e vamos precisar aplicar séries de potências para encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para simplificar:
Isso ajuda a deixar a equação em uma forma mais manejável.
Passo 3
Agora, vamos supor que a solução
pode ser escrita como uma série de potências em torno de
:
Onde
são os coeficientes que precisamos encontrar.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas de
:
Passo 5
Substituímos
,
e
na equação diferencial:
Passo 6
Vamos ajustar os índices das somas para que todas tenham
:
Para a segunda soma, mudamos a variável para que todas as potências sejam
:
Passo 7
Agora, combinamos todas as somas:
Simplificando os termos dentro da soma:
Passo 8
Isso nos dá uma relação de recorrência para os coeficientes
:
Passo 9
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar os primeiros coeficientes:
- Para
:
- Para
:
Passo 10
Usando a relação de recorrência, vamos encontrar alguns coeficientes:
- Para
:
- Para
:
E assim por diante. Observamos que os coeficientes de ordem ímpar são zero (
).
Passo 11
Assim, a solução pode ser escrita como:
Resposta
A solução da equação diferencial é dada pela série de potências:
Exercícios relacionados
f)
onde
e
.
b)
. Estime o valor de
. Sugestão: Derive
.
Use série de potências para calcular as seguintes integrais. Verifique se as séries resultantes satisfazem o Critério de Leibniz e então estime o valor das integrais com erro inferior à
.
b)
b)
Calcule o volume do sólido
, no primeiro octante, limitado pelo cilindro parabólico
e pelos planos
e
.