Use série de potências para calcular as seguintes integrais. Verifique se as séries resultantes satisfazem o Critério de Leibniz e então estime o valor das integrais com erro inferior à E=10^-2.
c) integral0^1 / 3 x^2 arctan x^4 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando séries de potências. A matéria envolvida aqui é cálculo integral e séries de potências. Para resolver, vamos precisar expandir a função em uma série de potências, integrar termo a termo, verificar se a série resultante satisfaz o Critério de Leibniz e, por fim, estimar o valor da integral com um erro menor que .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função arctan(u) = sumn=0^infty (-1)^n u^2n+12n+1, para |u| <= 1 pode ser expandida em série de potências da seguinte forma:
arctan(x^4) = sumn=0^infty (-1)^n x^4(2n+1)2n+1 = sumn=0^infty (-1)^n x^8n+42n+1
No nosso caso, . Então, substituindo na série:

Passo 3

Agora, vamos multiplicar essa série por integral0^1/3 x^2 arctan(x^4) , dx = integral0^1/3 x^2 ( sumn=0^infty (-1)^n x^8n+42n+1 ) dx e integrar de 0 a = sumn=0^infty (-1)^n2n+1 integral0^1/3 x^8n+6 , dx :
Podemos trocar a integral e a soma (desde que a série convirja uniformemente):

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral de cada termo:
integral0^1/3 x^8n+6 , dx = x^8n+78n+7 |0^1/3 = (1/3)^8n+78n+7
Então, nossa série fica:
sumn=0^infty (-1)^n2n+1 cdot (1/3)^8n+78n+7

Passo 5

Vamos simplificar um pouco a expressão:
sumn=0^infty (-1)^n (1/3)^8n+7(2n+1)(8n+7)
Para facilitar os cálculos, podemos reescrever como .

Passo 6

Agora, vamos verificar se a série satisfaz o Critério de Leibniz. Esse critério aplica-se a séries alternadas e afirma que se os termos decrescem em valor absoluto e tendem a zero, a série converge.
No nosso caso:
  • Os termos são alternados devido a .
  • é uma sequência decrescente em valor absoluto porque aumenta.
  • .
Portanto, a série satisfaz o Critério de Leibniz e converge.

Passo 7

Vamos agora estimar o valor da integral somando os primeiros termos da série até que o erro seja menor que (-1)^0 cdot 3^-71 cdot 7 = 17 cdot 2187 approx 0,0000667 .
Vamos calcular os termos individuais:
Para (-1)^1 cdot 3^-153 cdot 15 approx -13 cdot 14348907 approx -0,0000000232 :
Para :
Observamos que os termos seguintes são cada vez menores e alternam de sinal. Portanto, somando apenas o primeiro termo já temos uma aproximação com erro menor que .

Resposta

A estimativa do valor da integral com erro inferior a é aproximadamente .

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