Use série de potências para calcular as seguintes integrais. Verifique se as séries resultantes satisfazem o Critério de Leibniz e então estime o valor das integrais com erro inferior à .
c)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral usando séries de potências. A matéria envolvida aqui é cálculo integral e séries de potências. Para resolver, vamos precisar expandir a função em uma série de potências, integrar termo a termo, verificar se a série resultante satisfaz o Critério de Leibniz e, por fim, estimar o valor da integral com um erro menor que .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a função pode ser expandida em série de potências da seguinte forma:
No nosso caso, . Então, substituindo na série:
Passo 3
Agora, vamos multiplicar essa série por e integrar de 0 a :
Podemos trocar a integral e a soma (desde que a série convirja uniformemente):
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral de cada termo:
Então, nossa série fica:
Passo 5
Vamos simplificar um pouco a expressão:
Para facilitar os cálculos, podemos reescrever como .
Passo 6
Agora, vamos verificar se a série satisfaz o Critério de Leibniz. Esse critério aplica-se a séries alternadas e afirma que se os termos decrescem em valor absoluto e tendem a zero, a série converge.
No nosso caso:
Os termos são alternados devido a .
é uma sequência decrescente em valor absoluto porque aumenta.
.
Portanto, a série satisfaz o Critério de Leibniz e converge.
Passo 7
Vamos agora estimar o valor da integral somando os primeiros termos da série até que o erro seja menor que .
Vamos calcular os termos individuais:
Para :
Para :
Observamos que os termos seguintes são cada vez menores e alternam de sinal. Portanto, somando apenas o primeiro termo já temos uma aproximação com erro menor que .
Resposta
A estimativa do valor da integral com erro inferior a é aproximadamente .