(b) Find the CM energy of A, in terms of s, t, u and the masses. [Answer: EA^C M= (s+mA^2-mB^2) c^2 / 2 raizs.]

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão que pede para encontrar a energia no referencial do centro de massa (CM) da partícula em termos de e das massas envolvidas. A matéria que vamos usar aqui é a física de partículas, especificamente os conceitos de energia no referencial do centro de massa e as variáveis de Mandelstam ( ). Para resolver isso, vamos precisar entender como essas variáveis se relacionam com as energias e massas das partículas envolvidas na interação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a energia no referencial do centro de massa ( s = (pA + pB)^2 ) é a energia total do sistema quando as partículas estão observadas a partir desse referencial. Essa energia é importante porque simplifica os cálculos de colisões de partículas.
As variáveis de Mandelstam ( ) são usadas para descrever as interações entre partículas. A variável representa o quadrado da energia total no referencial do centro de massa:
onde e são os quatro-momentos das partículas e , respectivamente.

Passo 3

Queremos encontrar a energia da partícula s = (EA + EB)^2 - (pA + pB)^2 no referencial do centro de massa, s = (EA + EB)^2 - 0 = (EA + EB)^2 . Sabemos que, no CM, a energia total é distribuída entre as partículas envolvidas na colisão.
Usando a definição de , podemos expandir:
Como estamos no referencial do centro de massa, os momentos das partículas são iguais e opostos ( ), então a expressão simplifica para:

Passo 4

Agora, vamos considerar as massas das partículas EA^2 = pA^2 c^2 + mA^2 c^4 e EB^2 = pB^2 c^2 + mB^2 c^4 . A energia de cada partícula pode ser expressa usando a relação de energia e massa:
No referencial do centro de massa, , então podemos relacionar as energias e com suas massas.

Passo 5

Voltando à expressão para s = (EA + EB)^2 :
s = EA^2 + 2 EA EB + EB^2
Expande-se isso:
s = (pA^2 c^2 + mA^2 c^4) + 2 EA EB + (pB^2 c^2 + mB^2 c^4)
Substituindo as expressões para s = 2 pA^2 c^2 + mA^2 c^4 + mB^2 c^4 + 2 EA EB e :
Como , simplificamos para:

Passo 6

No referencial do centro de massa, a energia total E^CM = raizs , e também sabemos que:
raizs = EA + EB
Portanto:
EA = raizs - EB
Queremos isolar , então:

Passo 7

Usando a relação entre as energias, substituímos na expressão anterior:
s = 2 pA^2 c^2 + mA^2 c^4 + mB^2 c^4 + 2 EA EB
Mas sabemos que s = 2 (EA^2 - mA^2 c^4) + mA^2 c^4 + mB^2 c^4 + 2 EA EB , então substituímos:
s = 2 EA^2 - 2 mA^2 c^4 + mA^2 c^4 + mB^2 c^4 + 2 EA EB
Simplificando:
s = 2 EA^2 - mA^2 c^4 + mB^2 c^4 + 2 EA EB

Passo 8

Rearranjando a equação para resolver para 2 EA^2 + 2 EA EB = s + mA^2 c^4 - mB^2 c^4 :
EA^2 + EA EB = s + mA^2 c^4 - mB^2 c^42
Agora, dividimos tudo por 2:

Passo 9

Assumindo que no referencial do centro de massa, EA^2 + EA^2 = s + mA^2 c^4 - mB^2 c^42 (se as partículas têm a mesma massa), podemos simplificar a equação:
2 EA^2 = s + mA^2 c^4 - mB^2 c^42
EA^2 = s + mA^2 c^4 - mB^2 c^44
EA = (s + mA^2 c^4 - mB^2 c^4)^1/22

Resposta

EA^CM = (s + mA^2 c^4 - mB^2 c^4)2 raizs

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