(b) Find the CM energy of
, in terms of
and the masses. [Answer:
.]
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão que pede para encontrar a energia no referencial do centro de massa (CM) da partícula
em termos de
e das massas envolvidas. A matéria que vamos usar aqui é a física de partículas, especificamente os conceitos de energia no referencial do centro de massa e as variáveis de Mandelstam (
). Para resolver isso, vamos precisar entender como essas variáveis se relacionam com as energias e massas das partículas envolvidas na interação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a energia no referencial do centro de massa (
) é a energia total do sistema quando as partículas estão observadas a partir desse referencial. Essa energia é importante porque simplifica os cálculos de colisões de partículas.
As variáveis de Mandelstam (
) são usadas para descrever as interações entre partículas. A variável
representa o quadrado da energia total no referencial do centro de massa:
onde
e
são os quatro-momentos das partículas
e
, respectivamente.
Passo 3
Queremos encontrar a energia da partícula
no referencial do centro de massa,
. Sabemos que, no CM, a energia total é distribuída entre as partículas envolvidas na colisão.
Usando a definição de
, podemos expandir:
Como estamos no referencial do centro de massa, os momentos das partículas são iguais e opostos (
), então a expressão simplifica para:
Passo 4
Agora, vamos considerar as massas das partículas
e
. A energia de cada partícula pode ser expressa usando a relação de energia e massa:
No referencial do centro de massa,
, então podemos relacionar as energias
e
com suas massas.
Passo 5
Voltando à expressão para
:
Expande-se isso:
Substituindo as expressões para
e
:
Como
, simplificamos para:
Passo 6
No referencial do centro de massa, a energia total
, e também sabemos que:
Portanto:
Queremos isolar
, então:
Passo 7
Usando a relação entre as energias, substituímos na expressão anterior:
Mas sabemos que
, então substituímos:
Simplificando:
Passo 8
Rearranjando a equação para resolver para
:
Agora, dividimos tudo por 2:
Passo 9
Assumindo que no referencial do centro de massa,
(se as partículas têm a mesma massa), podemos simplificar a equação:
Resposta
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Particle
(energy
) hits particle
(at rest), producing particles
. Calculate the threshold (i.e. minimum
) for this reaction, in terms of the various particle masses.
A particle is traveling at
in the
direction. Determine its proper velocity,
(all four components).
For elastic scattering of identical particles,
, show that the Mandelstam variables (Problem 3.25) become
where
is the CM momentum of the incident particle, and
is the scattering angle.
Is
timelike, spacelike, or lightlike for a (real) particle of mass
? How about a massless particle? How about a virtual particle?